（练习）课时分层作业17 函数最值的求法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

课时分层作业(十七)　函数最值的求法 一、选择题 1．已知函数f (x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为(　　) A．16　　　B．12　　　C．32　　　D．6 C　[f ′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f (－3)＝17，f (3)＝－1，f (－2)＝24，f (2)＝－8，可知M－m＝24－(－8)＝32．] 2．已知函数f (x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f ′(x)<g′(x)，则f (x)－g(x)的最大值为(　　) A．f (a)－g(a) B．f (b)－g(b) C．f (a)－g(b) D．f (b)－g(a) A　[令F (x)＝f (x)－g(x)，∵f ′(x)<g′(x)， ∴F ′(x)＝f ′(x)－g′(x)<0， ∴F (x)在[a，b]上单调递减， ∴F (x)max＝F (a)＝f (a)－g(a)．] 3．函数f (x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　) A．1－e　　B．－1　　C．－e　　D．0 B　[因为f ′(x)＝－1＝，当x∈(0，1)时，f ′(x)>0．当x∈(1，e]时，f ′(x)<0，所以f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减．所以当x＝1时，f (x)取得极大值，也是最大值，为ln 1－1＝－1．故选B．] 4．函数f (x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f (x1)－f (x2)|≤t，则实数t的最小值是(　　) A．3　　B．18　　C．20　　D．0 C　[令f ′(x)＝3x2－3＝0， 得x＝±1， 则f (x)min＝f (－3)＝－19， f (x)max＝f (－1)＝f (2)＝1， 由题意知|f (x1)－f (x2)|max＝|－19－1|＝20， ∴t≥20，故tmin＝20．] 5．函数f (x)＝x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f (x)的图像始终在函数g(x)图像的上方，那么a的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C． D． A　[设h(x)＝f (x)－g(x)＝x3－x2＋a－x2＋3x， 则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)， 所以当x∈[1，3)时，h(x)单调递减； 当x∈(3，＋∞)时，h(x)单调递增． 当x＝3时，函数h(x)取得极小值也是最小值． 因为f (x)的图像始终在g(x)的图像上方， 所以h(x)min>0，即h(3)＝a>0， 所以a的取值范围是(0，＋∞)．] 二、填空题 6．函数f (x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________． －71　[f ′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)． 令f ′(x)＝0得x＝3或x＝－1． 又f (－4)＝k－76，f (3)＝k－27， f (－1)＝k＋5，f (4)＝k－20． 则f (x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f (x)min＝k－76＝－71．] 7．设直线x＝t与函数f (x)＝x2，g(x)＝ln x的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________． 　[由题意画出函数图像如图所示， 由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)，则 y′＝2t－＝＝． 当0<t<时，y′<0，可知y在内单调递减； 当t>时，y′>0，可知y在内单调递增． 故当t＝时，|MN|有最小值．] 8．设函数f (x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0，1]都有f (x)≥0成立，则实数a的取值范围为________． [4，＋∞)　[因为x∈(0，1]，f (x)≥0可化为a≥－，设g(x)＝－，则g′(x)＝． 令g′(x)＝0，得x＝． 当0<x<时，g′(x)>0；当<x≤1时，g′(x)<0． 所以g(x)在(0，1]上有极大值g＝4，它也是最大值，所以a≥4．] 三、解答题 9．(2021·北京高考)已知函数f (x)＝． (1)若a＝0，求曲线y＝f (x)在(1，f (1))处的切线方程； (2)若函数f (x)在x＝－1处取得极值，求f (x)的单调区间，以及最大值和最小值． [解]　(1)当a＝0时，f (x)＝，则f ′(x)＝＝． 当x＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－4，故y＝f (x)在(1，f (1))处的切线方程为y－1＝－4(x－1)，整理得y＝－4x＋5． (2)已知函数f (x)＝， 则f ′(x)＝ ＝． 若函数f (x)在x＝－1处取得极值，令f ′(－1)＝