（练习）课时分层作业16 函数的导数与极值-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

课时分层作业(十六)　函数的导数与极值 一、选择题 1．下列结论中，正确的是(　　) A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在x0点附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f (x0)是极大值 C．如果在x0点附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f (x0)是极小值 D．如果在x0点附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f (x0)是极大值 B　[根据极值的概念，左侧f ′(x)>0，单调递增；右侧f ′(x)<0，单调递减，f (x0)为极大值．] 2．(多选题)已知定义在R上的函数f (x)，其导函数f ′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述不正确的是(　　) A．f (a)＞f (e)＞f (d) B．函数f (x)在[a，b]上单调递增，在[b，d]上单调递减 C．f (x)的极值点为c，e D．f (x)的极大值为f (b) ABD　[由导数与函数单调性的关系知，当f ′(x)＞0时， f (x)单调递增，当f ′(x)＜0时，f (x)单调递减． 结合所给图像知，当x∈(a，c)时，f ′(x)＞0，∴f (x)在(a，c)上单调递增； 当x∈(c，e)时，f ′(x)＜0，∴f (x)在(c，e)上单调递减； 当x∈(e，＋∞)时，f ′(x)＞0，∴f (x)在(e，＋∞)上单调递增， ∴函数f (x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值， ∴f (x)的极值点为c，e． 故C正确，A，B，D均不正确．] 3．若x＝1是函数f (x)＝ex－ax的极值点，则方程f (x)＝a在(2，＋∞)的不同实根个数为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．0 A　[由f ′(x)＝ex－a，得f ′(1)＝e－a＝0，则a＝e，f (x)＝ex－ex， 函数f (x)在(2，＋∞)，f ′(x)>0，f (x)单调递增， f (2)＝e2－2e<e，函数y＝f (x)与y＝a的交点个数为1个，故选A．] 4．函数f (x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则点(a，b)为(　　) A．(3，－3) B．(－4，11) C．(3，－3)或(－4，11) D．不存在 B　[f ′(x)＝3x2－2ax－b， ∵当x＝1时，f (x)有极值10， ∴ 解得或 验证知当a＝3，b＝－3时，在x＝1处无极值， ∴a＝－4，b＝11．] 5．函数y＝x3－2ax＋a在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，3) B．(－∞，3) C．(0，＋∞) D． D　[令y′＝3x2－2a＝0，得x＝±． 由题意知，当a>0时，有∈(0，1)，即0<<1，解得0<a<．当a＝0和a<0时，f (x)在(0，1)内无极小值，不符题意，故选D．] 二、填空题 6．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________． y＝－　[令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0， 得x＝－1，∴y＝－， ∴函数y＝xex在极值点处的切线方程为y＝－．] 7．已知函数f (x)＝ax3＋bx2＋2，其导函数f ′(x)的图像如图所示，则函数的极小值是________． 2　[由题图可知，当x<0时，f ′(x)<0， 当0<x<2时，f ′(x)>0，故当x＝0时，函数f (x)取极小值f (0)＝2．] 8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________． (－∞，－1)　[∵y＝ex＋ax， ∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a， 即x＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1．] 三、解答题 9．设x＝1与x＝2是函数f (x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点． (1)确定常数a和b的值； (2)判断x＝1，x＝2是函数f (x)的极大值点还是极小值点，并说明理由． [解]　(1)因为f (x)＝aln x＋bx2＋x， 所以f ′(x)＝＋2bx＋1． 依题意得f ′(1)＝f ′(2)＝0，即 解方程组得a＝－，b＝－． (2)由(1)知，f (x)＝－ln x－x2＋x(x>0)， 故f ′(x)＝－－x＋1＝． 当x∈(0，1)时，f ′(x)<0；当x∈(1，2)时，f ′(x)>0； 当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)<0． 故在x＝1处函数f (x)取得极小值，在x＝2处函数取得极大值－ln 2． 所以x＝1是函数f (x)的极小值点，x＝2是函数f (x)的极大值点． 10．已知函数f (x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围． [解]　因为f (x)＝，x>0， 则f ′(x)＝－， 当0<x<1时，f ′(x)>0， 当x>1时