（练习）课时分层作业15 导数与函数的单调性-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

课时分层作业(十五)　导数与函数的单调性 一、选择题 1．函数y＝x＋xln x的单调递减区间是(　　) A．(－∞，e－2)　　　 B．(0，e－2) C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞) B　[因为y＝x＋xln x，所以定义域为(0，＋∞)． 令y′＝2＋ln x<0，解得0<x<e－2， 即函数y＝x＋xln x的单调递减区间是(0，e－2)， 故选B．] 2．如图是函数y＝f (x)的导函数f ′(x)的图像，则下面判断正确的是(　　) A．在区间(－2，1)上f (x)是增函数 B．在区间(1，3)上f (x)是减函数 C．在区间(4，5)上f (x)是增函数 D．在区间(3，5)上f (x)是增函数 C　[由导函数f ′(x)的图像知在区间(4，5)上，f ′(x)>0，所以函数f (x)在(4，5)上单调递增．故选C．] 3．若函数f (x)＝ax3－x在R上是减函数，则(　　) A．a≤0 B．a<1 C．a<2 D．a≤ A　[f ′(x)＝3ax2－1．因为函数f (x)在R上是减函数，所以f ′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0．故选A．] 4．(2022·江苏四中高二期中)函数f (x)＝的图像大致为(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D B　[∵x≠0，f (－x)＝＝－f (x)， ∴f (x)为奇函数，A不正确； ∵f (1)＝e－e－1＞0，∴D不正确； ∵f ′(x)＝ ＝， ∴当x＞2时，f ′(x)＞0，即f (x)存在单调递增区间，∴C不正确．故选B．] 5．(多选题)函数f (x)的定义域为，f ′(x)是f (x)的导函数，且f ′(x)＜－tan x·f (x)恒成立，则(　　) A．f ＞f B．f ＞f C．f ＞f D．f ＞f CD　[依题意0＜x＜， 由f ′(x)＜－tan x·f (x)，得f ′(x)＜－·f (x)， 即sin x·f (x)＋cos x·f ′(x)＜0． 构造函数F (x)＝， F ′(x)＝＜0， 所以F (x)在上单调递减． 所以F ＞F ＞F ，＞＞，＞＞f ，所以f ＞f ，f ＞f ．故选CD．] 二、填空题 6．函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是________． (－∞，－1)∪(1，＋∞)　[y′＝x2－2ax＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a)2－4>0，得a2>1，解得a<－1或a>1．] 7．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________． (0，＋∞)　[若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0．] 8．若函数f (x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1，1)上存在减区间，则实数a的取值范围是__________． 　[f (x)＝(－x2＋ax)ex，则f ′(x)＝ex[－x2＋ax－2x＋a]， 函数f (x)＝(－x2＋ax)ex在区间(－1，1)上存在减区间， 只需－x2＋ax＋a－2x≤0在区间(－1，1)上有解， 记g(x)＝－x2＋(a－2)x＋a，对称轴x＝，开口向下， g(－1)＝－1－(a－2)＋a＝1>0，只需g(1)<0， 所以－1＋a－2＋a<0，解得a<，故答案为．] 三、解答题 9．已知函数f (x)＝x＋－m(m∈R)． (1)当m＝1时，求f (x)的单调区间； (2)讨论f (x)的单调性． [解]　(1)由题意知，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)， 当m＝1时，f (x)＝x－ln x，则f ′(x)＝1－＝． 当x∈(0，1)时，f ′(x)＜0，此时函数f (x)单调递减． 当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0，此时函数f (x)单调递增． 所以函数f (x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (2)f ′(x)＝1－＋－＝1＋－＝＝， ①当m－1≤0，即m≤1时，则＞0， 令f ′(x)>0，得x>1；令f ′(x)<0，得0<x<1， 所以m≤1时，函数f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； ②当0<m－1<1，即1<m<2时， 令f ′(x)＞0，得x>1或0<x<m－1； 令f ′(x)<0，得m－1<x<1， 所以1＜m＜2时，f (x)在(0，m－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(m－1，1)上单调递减； ③当m－1＝1，即m＝2时，f ′(x)＝≥0， 所以m＝2时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增； ④当m－1>1，即m>2时， 令f ′(x)>0，得x>m－1或0<x<1； 令f ′(x)<0，得1<x<m－1， 所以m＞2时，f (x)在(0，1