（练习）课时分层作业13 基本初等函数的导数-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

课时分层作业(十三)　基本初等函数的导数 一、选择题 1．(2022·河南郑州实验中学高二期中)下列运算正确的个数是(　　) ①＝cos；②(3x)′＝x·3x－1；③(log2x)′＝；④(x－5)′＝－x－6． A．1　　B．2　　C．3　　D．4 A　[①＝0，所以该运算错误； ②(3x)′＝3xln 3，所以该运算错误； ③(log2x)′＝，所以该运算正确； ④(x－5)′＝－5x－6，所以该运算错误． 所以正确的个数为1．故选A．] 2．在曲线f (x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为(　　) A．(1，1)　　　 B．(－1，－1) C．(－1，1) D．(1，1)或(－1，－1) D　[切线的斜率k＝tan π＝－1， 设切点为(x0，y0)，则f ′(x0)＝－1， 又f ′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1， ∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1)．故选D．] 3．若函数f (x)＝10x，则f ′(1)等于(　　) A．　　B．10　　C．10ln 10　　D． C　[∵f ′(x)＝10xln 10，∴f ′(1)＝10ln 10．] 4．已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝(　　) A．4　　　B．－4　　　C．28　　　D．－28 C　[∵y′＝3x2， ∴点(2，8)处的切线斜率k＝f ′(2)＝12． ∴切线方程为y－8＝12(x－2)， 即y＝12x－16， ∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28．] 5．若f (x)＝sin x，f ′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是(　　) A．　　B．　　C．π　　D．π A　[∵f (x)＝sin x，∴f ′(x)＝cos x． 又∵f ′(α)＝cos α＝，∴α＝2kπ±(k∈Z)． 当k＝0时，α＝．] 二、填空题 6．若f (x)＝，且f ′(α)＝，则α＝________． 4　[因为f ′(x)＝，所以f ′(α)＝＝，解得α＝4．] 7．已知函数y＝f (x)的图像在M(1，f (1))处的切线方程是y＝x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝__________． 3　[依题意知，f (1)＝×1＋2＝， f ′(1)＝，∴f (1)＋f ′(1)＝＋＝3．] 8．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________． ln 2－1　[设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0． ∵y′＝(ln x)′＝，由题意知＝， ∴x0＝2，y0＝ln 2． 由ln 2＝×2＋b，得b＝ln 2－1．] 三、解答题 9．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8 s时的瞬时速度． [解]　∵s′＝()′＝(t)′＝t， ∴s′|t＝8＝×8＝×2－1＝， ∴质点P在t＝8 s时的瞬时速度为 m/s． 10．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点． (1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程； (2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． [解]　(1)因为y′＝2x． P(－1，1)，Q(2，4)都是曲线y＝x2上的点． 过P点的切线的斜率k1＝－2， 过Q点的切线的斜率k2＝4， 过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)， 即2x＋y＋1＝0． 过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0． (2)直线PQ的斜率k＝＝1， 设切点为(x0，x)， 因为y′＝2x， 所以切线的斜率k＝2x0＝1， 所以x0＝，所以切点M， 与PQ平行的切线方程为y－＝x－， 即4x－4y－1＝0． 1．已知函数f (x)＝ln x的图像在(a，f(a))处的切线斜率为k(a)，则“a>2”是 “k(a)<”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A　[因为f (x)＝ln x，所以f ′(x)＝(x>0)，k(a)＝(a>0)，若k(a)<，则<，解得a>2，故“a>2”是“k(a)<”的充要条件，故选A．] 2．(多选题)下列曲线的切线中，不存在互相垂直的切线的曲线是(　　) A．f (x)＝ex B．f (x)＝x3 C．f (x)＝ln x D．f (x)＝sin x ABC　[若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为－1，或一条切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0． A中，f ′(x)＝ex>0，B中f ′(x)＝3x2≥0，C中f ′(x)＝>0，故ABC中均不存在互相垂直的切线方程．而D中f ′(x)＝cos x，其可正可负，一定存在使cos x1·cos x2＝－1的情形，故选ABC．] 3．若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为1