（练习）课时分层作业12 导数及其几何意义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

课时分层作业(十二)　导数及其几何意义 一、选择题 1．下面说法正确的是(　　) A．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线 B．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处有切线，则f ′(x0)必存在 C．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线，则f ′(x0)有可能存在 C　[根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．] 2．设f (x)为R上的可导函数，且满足 ＝－1， 则f ′(1)＝(　　) A．2　　B．－1　　C．1　　D．－2 D　[根据导数的定义得 ＝ ＝f ′(1)＝－1，所以f ′(1)＝－2，故选D．] 3．已知曲线f (x)＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是(　　) A．(1，1) B．(－1，1) C．(1，1)或(－1，－1) D．(2，8)或(－2，－8) C　[设P(x0，y0)，则f ′(x0)＝ ＝[3x＋3x0·Δx＋(Δx)2]＝3x． 由题意，知切线斜率k＝3，令3x＝3，得x0＝1或x0＝－1． 当x0＝1时，y0＝1；当x0＝－1时，y0＝－1． 故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1)，故选C．] 4．设函数f (x)在点x0附近有定义，且有f (x0＋Δx)－f (x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　) A．f ′(x)＝a B．f ′(x)＝b C．f ′(x0)＝a D．f ′(x0)＝b C　[∵f ′(x0)＝ ＝ ＝ (a＋bΔx)＝a， ∴f ′(x0)＝a．] 5．若曲线f (x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　) A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 A　[设切点为(x0，y0)， ∵f ′(x0)＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0． 由题意可知，切线斜率k＝4，即f ′(x0)＝2x0＝4， ∴x0＝2，∴切点坐标为(2，4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A．] 二、填空题 6．已知函数y＝f (x)的图像如图所示，则函数y＝f ′(x)的图像可能是__________．(填序号) ①　　　②　　　　③　　　④ ②　[由y＝f (x)的图像及导数的几何意义可知，当x<0时，f ′(x)>0；当x＝0时，f ′(x)＝0；当x>0时，f ′(x)<0．故②符合．] 7．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________． 2　[因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2， 所以＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为 ＝4a，所以4a＝8，所以a＝2．] 8．若f ′(x0)＝1，则 ＝__________． －　[ ＝－ ＝－f ′(x0)＝－．] 三、解答题 9．试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程． [解]　设所求切线的切点为A(x0，y0)， 则f ′(x0)＝ ＝ ＝2x0． ∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x， 又∵A是切点，∴过点A的切线的斜率k＝2x0， ∵所求切线过P(3，5)和A(x0，y0)两点， ∴其斜率为＝． ∴2x0＝，解得x0＝1或x0＝5． 从而切点A的坐标为(1，1)或(5，25)． 当切点为(1，1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2； 当切点为(5，25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10． ∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)， 即y＝2x－1和y＝10x－25． 10．“菊花”烟花是壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况． [解]　烟花在t＝2 s时的瞬时速度就是h′(2)． 而＝＝－4.9－4.9Δt， 所以h′(2)＝ ＝ (－4.9－4.9Δt)＝－4.9， 即在t＝2 s时，烟花正以4.9 m/s的瞬时速度下降． 如图，结合导数的几何意义，我们可以看出： 在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂； 在0～1.5 s之间，曲线在任何点处的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度