（练习）课时分层作业10 数学归纳法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

课时分层作业(十)　数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步验证(　　) A．n＝1　　　 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4 C　[由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．] 2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　) A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ D　[结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋．] 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝(n∈N*)时，由n＝k(k∈N*)的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(　　) A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)[2(k＋1)2＋1] C．(k＋1)2 D．(k＋1)2＋k2 D　[由题意可知， 当n＝k(k∈N*)时，左边＝12＋22＋32＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋32＋22＋12， 当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋32＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋32＋22＋12， 比较两式，可得等式左边应该添加的式子为(k＋1)2＋k2，故选D．] 4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 D　[对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错误；对于C，应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立．”] 5．k(k≥3，且k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面个数f(k＋1)为(　　) A．f(k)＋k＋1 B．f(k)＋k C．f(k)＋k－1 D．f(k)＋k－2 C　[三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面，五棱柱有5个对角面，六棱柱有9个对角面，…猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱有f(k)＋k－1个对角面．] 二、填空题 6．设函数f(x)＝(x＞0)，f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……，据此归纳推理可得f2 021(x)＝________． 　[由题目给出的四个等式发现，每一个等式的右边都是一个分式，分子都是x，分母是等式左边的“f”的右下角码乘x加1，据此可得f2 021(x)＝．] 7．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上________． －　[因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左端＝1－＋－＋…＋－＋－．所以，左端应在n＝k的基础上加上－．] 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________． Sn＝　[S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝．] 三、解答题 9．用数学归纳法证明：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除． [证明]　(ⅰ)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除． (ⅱ)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64． 故f(k＋1)也能被64整除． 综合(ⅰ)(ⅱ)，知当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除． 10．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝． (1)求出a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． [解]　(1)∵a1＝，an＋1＝， ∴a2＝＝＝，a3＝＝＝． 猜想：an＝(n∈N*)． (2)证明：当n＝1时，a1＝＝，猜想成立， 假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝， 则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝＝， 即当n＝k＋1时，猜想也成立． 综上所述