（练习）课时分层作业8 等比数列的前n项和-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

课时分层作业(八)　等比数列的前n项和 一、选择题 1．数列{2n－1}的前99项和为(　　) A．2100－1　　　　 B．1－2100 C．299－1 D．1－299 C　[数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝＝299－1．] 2．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝(　　) A． B． C． D． C　[当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝．] 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　) A．31　　　B．32　　　C．63　　　D．64 C　[法一：由(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即144＝3(S6－15)，解得S6＝63． 法二：由S4＝S2＋q2S2⇒15＝3＋3q2⇒q2＝4，所以S6＝S2＋q2S4＝3＋4×15＝63．] 4．我国古代数学著作《九章算术》中，有如下问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？其大意为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是(　　) A．2　　B．3　　C．4　　D．1 B　[依题意，每天的织布尺数构成一个公比q＝2的等比数列{an}，其前n项和为Sn，则S5＝5，Sm＝． ∵S5＝＝5，解得a1＝，∴Sm＝＝，解得m＝3．故选B．] 5．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝(　　) A．3×44 B．3×44＋1 C．43 D．43＋1 A　[已知an＋1＝3Sn，则当n≥2时，an＝3Sn－1，两式作差，得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)，即an＋1＝4an，也即数列从第2项起，是以a2＝3为首项，4为公比的等比数列，从而an＝3·4n－2，n≥2． 由于a1＝1，则an＝于是a6＝3×44．] 二、填空题 6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________． 6　[∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 又∵Sn＝126， ∴＝126，∴n＝6．] 7．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________． －63　[因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63．] 8．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________． 3或－4　[∵S3＝＝＝26，∴q2＋q－12＝0，∴q＝3或－4．] 三、解答题 9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn． [解]　(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0． 又q≠0，从而q＝－． (2)由已知可得a1－a1＝3，故a1＝4． 从而Sn＝＝． 10．(2020·新高考Ⅰ卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8． (1)求{an}的通项公式； (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100． 解：(1)设等比数列{an}首项为a1，公比为q(q>1)．由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8． 解得q＝(舍去)，q＝2．由题设得a1＝2． 所以{an}的通项公式为an＝2n． (2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m<2n＋1时，bm＝n． 所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480． 1．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 B　[当a1＜0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1>0，则qn＞0(n∈N*)，即q＞0；若a1＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的