（练习）课时分层作业7 等比数列的性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

课时分层作业(七)　等比数列的性质 一、选择题 1．已知数列{an}是等比数列，满足a5a11＝4a8，数列{bn}是等差数列，且b8＝a8，则b7＋b9＝(　　) A．24　　B．16　　C．8　　D．4 C　[∵数列{an}是等比数列，∴a5a11＝4a8＝a． 又a8≠0，∴a8＝4． ∵{bn}是等差数列，∴b7＋b9＝2b8＝2a8＝8．故选C．] 2．已知在等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于(　　) A．　　B．　　C．　　D． D　[由a2·a8＝a4·a6＝6，a4＋a6＝5，a6＜a4，得a6＝2，a4＝3，＝＝，故选D．] 3．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…．此数列是(　　) A．公比为q的等比数列 B．公比为q2的等比数列 C．公比为q3的等比数列 D．不一定是等比数列 B　[由于＝×＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋， ∴{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B．] 4．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 C　[法一：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由a5·a2n－5＝22n得a1q4·a1q2n－6＝aq2n－2＝22n．又an>0，所以(a1qn－1)2＝(2n)2，所以a1qn－1＝2n．log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1) ＝log2(an1q0＋2＋…＋2n－2) ＝log2[aqn(n－1)]＝log2(a1qn－1)n＝log2(2n)n＝n2． 法二：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an>0，所以an＝2n． 利用特殊值法，如令n＝2，则log2a1＋log2a3＝log2(2·23)＝log224＝4．只有选项C符合． 法三：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an>0，所以an＝2n． 于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2．] 5．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为(　　) A．2　　B．　　C．3　　D． D　[法一：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)．由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知 解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝×＝．故选D． 法二：依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝(a1a9)(a2a8)(a3a7)＝a＝27，所以a5＝．故选D．] 二、填空题 6．在等比数列{an}中，若a2，a8是方程x2－3x＋6＝0的两个根，则a4a6＝________． 6　[由题知a2·a8＝6，根据等比数列的性质，a4·a6＝a2a8＝6．] 7．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝________． 1　[设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质并结合已知条件得a＝4·aq4． ∴q4＝，q2＝， ∴a3＝a1q2＝2×＝1．] 8．等差数列{an}的公差d≠0，a1＝20，且a3，a7，a9成等比数列，则d＝________． －2　[由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9＝a， 即(a1＋2d)(a1＋8d)＝(a1＋6d)2， 化简得2a1d＋20d2＝0， 由a1＝20，d≠0，得d＝－2．] 三、解答题 9．已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an． [解]　法一：因为a1a3＝a， a1a2a3＝a＝8，所以a2＝2． 从而 解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1． 当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝． 故an＝2n－1或an＝23－n． 法二：由等比数列的定义，知a2＝a1q，a3＝a1q2． 代入已知，得 即 即 将a1＝代入①，得2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝． 由②得或 故an＝2n－1或an＝23－n． 10．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数． [解]　由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则 a