（练习）课时分层作业6 等比数列的定义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

课时分层作业(六)　等比数列的定义 一、选择题 1．在等比数列{an}中，a2 021＝8a2 020，则公比q的值为(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．8 D　[由等比数列的定义知q＝＝8．] 2．设a1＝2，数列{2an＋1}是公比为3的等比数列，则a6等于(　　) A．606　　B．607　　C．608　　D．609 B　[由题意可知2an＋1＝(1＋2a1)·3n－1＝5×3n－1， ∴2a6＋1＝5×36－1＝5×35，即a6＝＝607．] 3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(　　) A．64　　B．81　　C．128　　D．243 A　[∵{an}为等比数列，∴＝q＝2． 又a1＋a2＝3，∴a1＝1．故a7＝1·26＝64．] 4．在等比数列{an}中，若a1＝1，公比|q|≠1，且am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于(　　) A．8　　B．9　　C．10　　D．11 D　[由题意可知am＝a·q10，又a1＝1，am＝qm－1，∴qm－1＝q10，即m－1＝10，解得m＝11．故选D．] 5．(多选题)若数列{an}对任意n≥2(n∈N*)都有(an－an－1－2)(an－2an－1)＝0，则下列说法正确的是(　　) A．{an}可以是等差数列 B．{an}可以是等比数列 C．{an}可以既是等差数列又是等比数列 D．{an}可以既不是等差数列又不是等比数列 ABD　[∵数列{an}对任意n≥2(n∈N*)都有(an－an－1－2)(an－2an－1)＝0，∴an－an－1＝2或an＝2an－1，∴{an}可以是公差为2的等差数列，A正确；{an}可以是公比为2的等比数列，B正确；若{an}既是等差数列又是等比数列，则此时公差为0，公比为1，由A、B可知C错误；当数列为1，3，6，8，16，…时，满足条件，但此时数列既不是等差数列也不是等比数列，故D正确．] 二、填空题 6．在等比数列{an}中，若a1＝2，a4＝4，则a7＝________． 8　[由a4＝a1q3得q3＝2，∴a7＝a4q3＝4×2＝8．] 7．若数列{an}满足a9＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则a5＝________． 　[由an＋1＝2an可知数列{an}是公比为2的等比数列， 又a9＝1，∴an＝a9qn－9＝2n－9，∴a5＝2－4＝．] 8．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________． 3×2n－3　[由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2．所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3．] 三、解答题 9．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8． (1)求数列{an}的通项公式an； (2)若an＝，求n． [解]　(1)因为a5＝a3q2，所以q2＝＝．所以q＝±． 当q＝时，an＝a3qn－3＝32×＝28－n； 当q＝－时，an＝a3qn－3＝32×． 所以an＝28－n或an＝32×． (2)当an＝时，28－n＝或32×＝， 解得n＝9． 10．已知数列{an}，{bn}满足下列条件： a1＝0，a2＝1，2an＋2＝an＋an＋1，bn＝an＋1－an． (1)求证：{bn}是等比数列； (2)求{bn}的通项公式． [解]　(1)证明：由条件得 ＝＝＝－． ∴{bn}是等比数列． (2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－， ∴bn＝1×＝． 1．(多选题)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　) A．{a} B．{log2a} C．{2an} D．{an＋an＋1＋an＋2} AD　[设等比数列{an}的公比为q，则＝＝q2， ∴{a}是等比数列； 当an＝1时，log2a＝0，数列{log2a}不是等比数列； ＝2an＋1－an不一定等于常数，∴{2an}不一定是等比数列； 由等比数列的定义知{an＋an＋1＋an＋2}是等比数列． 故选AD．] 2．(多选题)下列关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是(　　) A．q＞1⇒{an}为递增数列 B．{an}为递增数列⇒q＞1 C．0＜q＜1⇔{an}为递减数列 D．q＞1{an}为递增数列且{an}为递增数列q＞1 ABC　[若a1＝－2，q＝2＞1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…，是递减数列，A不正确；若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…，是递增数列，则q＝＜1，B不正确，D正确；若a1＝－16，q＝∈(0，1)，则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数列，C不正确．] 3．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝．若bn＝－1，则数列{bn