（练习）课时分层作业4 等差数列的性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

课时分层作业(四)　等差数列的性质 一、选择题 1．在等差数列{an}中，a11＝2a8＋6，则a2＋a6＋a7＝(　　) A．－18　　B．－6　　C．8 　　D．12 A　[根据题意，设等差数列{an}的公差为d， 由a11＝2a8＋6，得2a8－a11＝－6， 即a8－3d＝a5＝－6， 所以a2＋a6＋a7＝3a5＝－18． 故选A．] 2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　) A．14　　B．21　　C．28　　D．35 C　[由题意可知a3＋a4＋a5＝3a4＝12，即a4＝4， 又a1＋a2＋…＋a7＝3(a1＋a7)＋a4＝7a4， ∴a1＋a2＋…＋a7＝7×4＝28，故选C．] 3．在数列{an}中＝＋且a2 020＝，a2 022＝，则a2 023＝(　　) A．　　B．　　C．　　D．3 C　[由＝＋(n∈N*，n≥2)知，数列是等差数列，则其公差d＝＝．因此＝＋d＝＋＝3，所以a2 023＝． 故选C．] 4．(多选题)下列说法错误的有(　　) A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 AB　[对于A，若a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c， b2＝＝(a2＋2ac＋c2)≠(a2＋c2)，所以A错误； 对于B，由b＝知log2b＝log2(a＋c)－1≠(log2a＋log2c)，所以B错误； 对于C，由b＝得b＋2＝＋2＝(a＋2＋c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2是成等差数列，C正确； 对于D，由b＝得2b＝2·＝，所以D正确．故选AB．] 5．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之， 问，各若干？”其大意是，现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮，在这个问题中，正三品分得俸粮是(　　) A．35石　　B．48石　　C．　　61石　　D．　　74石 A　[依题意设分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员的俸粮分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，d＝－13． 则由题意得a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝305，解得a＝61， 所以正三品分得俸粮重量为a＋2d＝61－2×13＝35(石)， 故选A．] 二、填空题 6．设a＞0，b＞0，是a与b的等差中项，则＋的最小值为________． 3＋2　[由是a与b的等差中项，得a＋b＝1，又a＞0，b＞0， 所以＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当＝，即a＝2－，b＝－1时，等号成立， 所以＋的最小值为3＋2， 故答案为3＋2．] 7．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝________． 100　[∵{an}，{bn}都是等差数列， ∴{an＋bn}也是等差数列． 又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100， ∴an＋bn＝100，故a37＋b37＝100．] 8．已知数阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a32＝__________，a22＝__________． 3　　[设第三行的四个数的公差为d3，由a31＝1，a34＝7，得d3＝＝2，所以a32＝1＋2＝3．因为第二列的四个数成等差数列，所以a22是a12，a32的等差中项，所以a22＝＝＝．] 三、解答题 9．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解]　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1． 又四个数成递增等差数列， ∴d＝1．故所求的四个数为－2，0，2，4． 10．(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值； (2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值． [解]　(1)法一：根据等差数列的性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6， 由a2＋a6＋a10＝1， 得3a6＝1，解得a6＝， ∴a4＋a8＝2a6＝． 法二：设公差为d，根据等差数列的通项公式， 得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋