（练习）课时分层作业3 等差数列的定义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

课时分层作业(三)　等差数列的定义 一、选择题 1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，则a25的值为(　　) A．49　　B．50　　C．89　　D．99 A　[由an＋1－an＝2得数列{an}是公差为d＝2的等差数列，又a1＝1，所以a25＝a1＋24d＝1＋24×2＝49．故选A．] 2．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(　　) A．－1　　B．0　　C．1　　D．6 B　[法一：设{an}的首项为a1，公差为d，则有得所以a6＝a1＋5d＝0． 法二：因为a6－a4＝a4－a2，所以a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0．] 3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－91，它的项数是(　　) A．92 B．47 C．46 D．45 B　[a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，由－91＝－2n＋3，得n＝47．] 4．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是(　　) A．公差为1的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公差为－的等差数列 D．不是等差数列 B　[由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝．所以数列{an}是公差为的等差数列．] 5．等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 B　[a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0．] 二、填空题 6．在数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________． 3n　[因为n≥2时，an－an－1＝3， 所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列．所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n．] 7．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________． 13　[设公差为d，则a5－a2＝3d＝6， ∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13．] 8．某公司经销一种数码产品，第1年获得的利润为200万元，从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，若该公司不调整经营策略，则an(an为第n年获得的利润)与n的关系为__________，该公司从第__________年起，经销这一产品将亏损． an＝－20n＋220　12　[由题意，可知每年获得的利润构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220．若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋220<0，解得n>11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．] 三、解答题 9．在等差数列{an}中． (1)已知a1＝8，a9＝－2，求d与a14； (2)已知a3＋a5＝18，a4＋a8＝24，求d． [解]　(1)由a9＝a1＋8d＝－2， ∵a1＝8．∴d＝－，∴a14＝a1＋13d＝8＋13×＝－． (2)由(a4＋a8)－(a3＋a5)＝4d＝6．∴d＝． 10．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋)． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：∵an＋1＝， ∴＝＝＝ ＝＋， 即－＝，∴是等差数列． (2)由(1)可知＝＋(n－1)×＝，即an＝，n∈N＋． 1．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是(　　) A． B． C． D． C　[设an＝－24＋(n－1)d， 由解得<d≤3．] 2．(多选题)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．关于这个问题，下列说法正确的是(　　) A．甲得钱是戊得钱的2倍 B．乙得钱比丁得钱多钱 C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 AC　[依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，且a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5， ∴a＝1，d＝－，即a－2d＝1－2×＝，a－d＝1－＝，a＋d＝1＋＝，a＋2d＝1＋2×＝， ∴甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论： 甲得钱是戊得钱的2倍，故A正确； 乙得钱比丁得钱多－＝钱，故B错误； 甲、丙得钱的和是乙得钱的＝2倍，故C