（练习）课时分层作业2 数列中的递推-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

课时分层作业(二)　数列中的递推 一、选择题 1．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，则a5＝(　　) A．2　　B．3　　C．－1　　D． C　[a1＝，an＋1＝1－，则a2＝1－2＝－1， a3＝1＋1＝2，a4＝1－＝，a5＝1－2＝－1， 故选C．] 2．已知数列{an}满足：a1＝－，an＝1－(n≥2)，则a4等于(　　) A．　　B．　　C．－　　D． C　[由题意知a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－．] 3．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则an与an－1的关系为(　　) A．an＝2an－1 B．an＝an－1 C．an＝－2an－1 D．an＝－an－1 A　[∵Sn＝2an－2，∴当n＝1时，a1＝2a1－2，即a1＝2． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，故选A．] 4．已知数列{an}前n(n∈N*)项和为Sn，且满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝m，a2＝n，则下列结论正确的是(　　) A．a2 021＝－m，S2 021＝2n－m B．a2 021＝－n，S2 021＝2n－m C．a2 021＝－n，S2 021＝n－m D．a2 021＝－m，S2 021＝n－m C　[因为an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝m，a2＝n， 所以a3＝n－m，a4＝n－m－n＝－m，a5＝－m－(n－m)＝－n，a6＝－n＋m，a7＝－n＋m＋n＝m，a8＝m－(－n＋m)＝n，…可以得出数列{an}是周期数列，周期为6，所以a2 021＝a5＝－n， 因为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以S2 021＝S5＝n－m，故选C．] 5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　) A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n A　[an＋1－an＝ln＝ln，∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln，…，a3－a2＝ln ，a2－a1＝ln 2．各式相加后得an＝ln＋ln＋…＋ln＋ln 2＋a1＝ln＋2＝ln n＋2．] 二、填空题 6．已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，则数列{an}的通项公式为________． an＝　[由Sn＝3＋2n， 当n＝1时，a1＝S1＝5． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－3－2n－1＝2n－1． 所以an＝．] 7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an} ，则 a1＝__________；a5＝__________． 2　86　[由题意知，an＝21n－19，所以 a1＝2，a5＝86．] 8．数列{an}中，a1＝7，a9＝8，且(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)，则a2等于________． 9　[由(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)， 得nan＋1＝a1＋a2＋…＋an， 两式相减，得nan＋1－(n－1)an＝an． 所以n≥3时，nan＋1＝nan，即an＋1＝an． 又a9＝8，所以a3＝8． 又2a3＝a1＋a2，a1＝7，所以a2＝2a3－a1＝9．] 三、解答题 9．在数列{an}中，a1·a2·a3·…·an＝n2(n∈N＋)，求an. [解]　由a1·a2·a3·…·an＝n2(n∈N＋)，得 当n＝1时，a1＝1； 当n≥2时，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2， 两式相除，得an＝(n≥2)， 所以an＝ 10．已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式． (1)Sn＝2n－1，n∈N*； (2)Sn＝2n2＋n＋3，n∈N*． [解]　(1)∵Sn＝2n－1(n∈N*)， ∴当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1． 经检验，当n＝1时，符合上式，∴an＝2n－1(n∈N*)． (2)∵Sn＝2n2＋n＋3(n∈N*)， ∴当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＋3＝6； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋3－[2(n－1)2＋(n－1)＋3]＝4n－1． 经检验，当n＝1时，不符合上式， ∴an＝ ． 1．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁