（练习）课时分层作业1 数列的概念-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教B版)

课时分层作业(一)　数列的概念 一、选择题 1．下列数列中，既是递增数列，又是无穷数列的是(　　) A．1，，，，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， C　[D是有穷数列，A、B是递减数列，故选C．] 2．(多选题)下列四个选项中，不正确的是(　　) A．数列，，，，…的—个通项公式是an＝ B．数列的图像是一群孤立的点 C．数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列 D．数列，，…，是递增数列 ACD　[对于A，当通项公式为an＝时， a1＝≠，不符合题意，故选项A错误； 对于B，由数列的通项公式以及n∈N*可知，数列的图像是一群孤立的点，故选项B正确； 对于C，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C错误； 对于D，数列，，…，是递减数列，故选项D错误． 故选ACD．] 3．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于(　　) A．70　　B．28　　C．20　　D．8 C　[由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20．] 4．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 A　[an＝＝1－， 当n≥2时，an－an－1＝1－－ ＝－＝>0，所以{an}是递增数列．] 5．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……，由此规律得到下列选项错误的是(　　) A．a11＝60 B．a12＝72 C．a13＝84 D．a14＝94 D　[根据题意，数列0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……， 其通项公式可以为an＝ 则a11＝60，a12＝72，a13＝84，a14＝98， 故选D．] 二、填空题 6．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，________，3，，…． 　[由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数，所以需要填空的数为．] 7．数列11，103，1 005，10 007，…的一个通项公式是_______________________． an＝10n＋2n－1　[a1＝10＋1＝101＋(2×1－1)， a2＝100＋3＝102＋(2×2－1)， a3＝1 000＋5＝103＋(2×3－1)， … 所以an＝10n＋2n－1．] 8．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3为此数列的第________项． 2或6　[令an＝n2－8n＋15＝3，即n2－8n＋12＝0，解得n＝2或6．] 三、解答题 9．在数列{an}中，an＝． (1)求数列的第7项； (2)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内； (3)区间内有无此数列的项？若有，有几项？ [解]　(1)a7＝＝． (2)证明：因为an＝＝1－，0<<1， 所以0<an<1，故数列的各项都在区间(0，1)内． (3)由<<， 得<n2<2， 又n∈N＋，所以n＝1，即在区间内有且只有一项是a1． 10．已知数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2． (1)－60是否为这个数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由； (2)当n分别为何值时，an＝0，an>0； (3)当n为何值时，an取得最大值？并求出最大值． [解]　(1)令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0， 解得n＝10或n＝－9(舍去)， ∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60． (2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0， 解得n＝6或n＝－5(舍去)， 即当n＝6时，an＝0． 令30＋n－n2>0，即n2－n－30<0， 解得－5<n<6． 又n∈N＋， ∴当n＝1，2，3，4，5时，an>0． (3)an＝30＋n－n2＝－＋， ∵n∈N＋， ∴当n＝1时，an取得最大值，最大值为30． 1．在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题．1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”．“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度．现有一个剩余问题：在(1，2021]的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列{an}，则数列{an}的项数为(　　) A．　　98　　B．　　99　　C．　　100　　D．　　101 D　[将题目转化为an