第01讲 导数的概念与运算-【寒假预科讲义】2024年高二数学寒假精品课（人教A版2019）

第01讲 导数的概念与运算 【人教A版2019】 ·模块一 导数的概念 ·模块二 导数的运算 ·模块三 课后作业 模块一 导数的概念 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 【考点1 瞬时速度、平均变化率】 【例1.1】（2023下·高二课时练习）函数从到的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023下·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位m）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系．该运动员在s时的瞬时速度（单位：）为（    ） A．10.9 B．0.1 C．6 D．5 【变式1.1】（2023·高二课时练习）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　　） A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s 【变式1.2】（2022下·北京丰台·高二校考阶段练习）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（    ）    A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同； C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同． 【考点2 导数定义中极限的简单计算】 【例2.1】（2023下·重庆长寿·高二校考期中）若函数在处的导数为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【例2.2】（2023下·河北沧州·高二校考阶段练习）如果，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式2.1】（2023下·福建宁德·高二校联考期中）已知函数，则时，的值趋近于（    ） A．2a B． C． D． 【变式2.2】（2022上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（    ） A． B． C．1 D．2 【考点3 利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）】 【例3.1】（2023·高二课时练习）已知函数在处的导数为3，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023·高二单元测试）设函数，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式3.1】（2022下·贵州遵义·高二校考阶段练习）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A．-1 B．-3 C．1 D． 【变式3.2】（2023·高二课时练习）定义，已知函数在内的导函数为，的值为（    ） A． B． C． D． 模块二 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u