第06讲 排列与组合-【寒假预科讲义】2024年高二数学寒假精品课（人教A版2019）

第06讲 排列与组合 【人教A版2019】 ·模块一 排列与排列数 ·模块二 组合与组合数 ·模块三 课后作业 模块一 排列与排列数 1．排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断， 这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任 取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关 的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有 变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元 素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 【考点1 有关排列数的计算与证明】 【例1.1】（2023上·高二课时练习）计算： (1)； (2)． 【例1.2】（2023下·江苏扬州·高二统考期中）计算： (1)； (2). 【变式1.1】（2023·江苏·高二专题练习）计算： (1)； (2)； (3)若，求x. 【变式1.2】（2022·高二课时练习）（1）解不等式：； （2）解方程：． 【考点2 无限制条件的排列问题】 【例2.1】（2023上·高二课时练习）A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（    ） A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 【例2.2】（2023上·高二课时练习）5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有（    ） A．20种 B．60种 C．120种 D．100种 【变式2.1】（2023上·高二课时练习）身高互不相同的6个人排成2横3纵列照相，在第一行的每个人都比他同列身后的人个子矮，则不同的排法种数为（    ） A．1 B．15 C．90 D．54 【变式2.2】（2023下·山西运城·高二校考阶段练习）自然对数e也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818，若用欧拉数的前6位数字2，7，1，8，2，8设置一个6位数的密码，则不同的密码有（    ）个 A．180 B．240 C．360 D．720 【考点3 有限制条件的排列问题】 【例3.1】（2023上·黑龙江鸡西·高三校考期末）2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（    ） A．720 B．960 C．1120 D．1440 【例3.2】（2023·河南开封·统考一模）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（    ） A．84 B．108 C．132 D．144 【变式3.1】（2023·山东·统考一模）4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（    ） A．36 B．72 C．81 D．144 【变式3.2】（2023下·上海闵行·高二校考期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 模块二 组合与组合数 1．组合 (1)