重难点02 一元二次不等式恒成立、能成立问题【六大题型】-2024年高考数学二轮复习【举一反三】系列（新高考专用）

重难点02 一元二次不等式恒成立、能成立问题【六大题型】 【新高考专用】 【题型1  一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 2 【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 3 【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 3 【题型4 一元二次不等式在实数集上有解问题】 4 【题型5 一元二次不等式在某区间上有解问题】 5 【题型6 一元二次不等式恒成立、有解问题的综合应用】 6 一元二次不等式是高考数学的重要内容.其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力都起到很好的作用.一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用. 【知识点1 一元二次不等式恒成立、能成立问题】 1．一元二次不等式恒成立、能成立问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为 2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法 (1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数. ①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0. ②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法). 3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解. 4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： (1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max； 若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min； 若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解a≤f(x)min. (2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min； 若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max； 若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解a≥f(x)max. 【题型1  一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 【例1】（2023·江西九江·校考模拟预测）无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·山东潍坊·统考一模）“”是“，成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2023上·福建三明·高一校联考期中）己知函数． (1)当时，解不等式; (2)若不等式的解集为R，求实数a的取值范围． 【变式1-3】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数． (1)若对，都有成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 【例2】（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023上·辽宁铁岭·高三校联考期中）已知，，，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023上·福建莆田·高一校考期中）设函数，其中. (1)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【变式2-3】（2023上·江苏盐城·高一校联考期中）设函数． (1)若对于恒成立，求的取值范围； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 【例3】（2022下·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023上·浙江宁波·高一校考阶段练习）（1）解关于x不等式； （2）若