2023年江苏省南京师范大学附属中学特长生数学试卷

2023年江苏省南京师大附中特长生数学试卷 综合卷 1.若,则x3+4x2+2x+6= . 2.方程的解为 . 3.5张卡片上分别写着数字1、1、2、2、3,从中任意抽取3张,则这3个数字可以作为三角形三边的边长的概率为 . 4.如图, ABC中,D,E在BC上,AD=AE,∠BAE=∠ACB,若AC=6,CD=4,则BD= 5.已知质数x,y,z满足xyz=7(x+y+z),则x2+y2+z2= . 6.已知方程x2﹣(k2+2k+6)x+(2k2+4k+8)=0(k为常数). (1)求证:该方程恒有两个不相等的实数根; (2)设该方程的两个实根为x1,x2,求|x1﹣x2|的最小值. 7.因式分解: (1 )a3b﹣ab3+a2+b2+1; (2)9a2﹣4b2+4bc﹣c2. 8.如图, ABC的外心为O,垂心为H,D为BC的中点.求证:AH=2OD. 数学加试 9.已知a+b+c=2023,,求的值. 10.已知方程ax2+2(a+3)x+(a+2)=0有正根,求a的取值范围. 11.如图,⊙O内切于半径为3,圆心角为60 的扇形中,⊙E与⊙O外切,与扇形内切,求⊙E的半径. 12.已知n,k均为正整数,且对于每一个确定的n,满足不等式的k仅有一个,求n的最大值与最小值. 信息加试 13.已知整数a,b,c满足a<0<b<c,且其中任意两数之和是第三个数的整数倍,求所有可能的值. 2023年江苏省南京师大附中特长生数学试卷 参考答案与试题解析 综合卷 1.若,则x3+4x2+2x+6= 3 . 【解答】解:∵==﹣2, ∴x+2=, ∴x3+4x2+2x+6 =x3+4x2+4x﹣2x+6 =x(x2+4x+4)﹣2x+6 =x(x+2)2﹣2x+6 =x•()2﹣2x+6 =5x﹣2x+6 =3x+6 =3(﹣2)+6 =3﹣6+6 =3, 故答案为:3. 2.方程的解为 x= . 【解答】解:当1<x≤2时,0<≤1, 原方程化为:+1+1﹣=, 即=2, 解得x=, 经检验,x=是方程的解, 当x>2时,>1, 原方程化为:+1+﹣1=, 即=2, 方程无解, 所以原方程的解为x=. 故答案为:x=. 3.5张卡片上分别写着数字1、1、2、2、3,从中任意抽取3张,则这3个数字可以作为三角形三边的边长的概率为 . 【解答】解:由题意可知,任意抽取3张所有等可能的结果有:(1,1,2),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,2),(1,2,3),(1,2,3),(1,2,2),(1,2,3),(1,2,3),(2,2,3),共10种, 其中这3个数字可以作为三角形三边的边长的结果有:(1,2,2),(1,2,2),(2,2,3),共3种, ∴这3个数字可以作为三角形三边的边长的概率为. 故答案为:. 4.如图, ABC中,D,E在BC上,AD=AE,∠BAE=∠ACB,若AC=6,CD=4,则BD= 5 【解答】解:∵∠BAE=∠C,∠AEB=∠C+∠EAC,∠BAC=∠BAE+∠EAC, ∴∠AEB=∠BAC, ∵AD=AE, ∴∠ADC=∠AEB=∠BAC, 又∵∠C=∠C, ∴ ACD∽ ABC, ∴AC:CD=AB:AD=BC:AC, ∵AC=6,CD=4, ∴BC=9, ∴BD=BC﹣CD=5. 故答案为:5. 5.已知质数x,y,z满足xyz=7(x+y+z),则x2+y2+z2= 83 . 【解答】解:∵xyz=7(x+y+z),x,y,z是质数; ∴x=7或y=7或z=7; 当x=7时,yz=7+y+z, ∵y,z是质数, ∴y=3,z=5或y=5,z=3; 此时x2+y2+z2=72+32+52=83或x2+y2+z2=72+52+32=83; 同理当y=7时,x=3,z=5或x=5,z=3,此时x2+y2+z2=83; 当z=7时,x=3,y=5或x=5,y=3,此时x2+y2+z2=83; 综上所述,x2+y2+z2=83; 故答案为:83. 6.已知方程x2﹣(k2+2k+6)x+(2k2+4k+8)=0(k为常数). (1)求证:该方程恒有两个不相等的实数根; (2)设该方程的两个实根为x1,x2,求|x1﹣x2|的最小值. 【解答】(1)证明:原方程可化为:(x﹣2)[x﹣(k2+2k+4)]=0, ∴原方程的两根为2和k2+2k+4, 又∵k2+2k+4=(k+1)2+3>2, ∴该方程恒有两个不相等的实数根; (2)解:∵, ∴, 所以|x1﹣x2|的最小值为1. 7.因式分解: (1 )a3b﹣ab3+a2+b2+1; (2)9a2﹣4b2+4bc﹣c2. 【解答】解:(1)原式=a3b﹣ab3+a2+b2+1+ab﹣ab =(a3b﹣ab3)+(a2﹣ab)+(ab+b2+