函数的最值问题五大重要求解方法（专项练习）2024年高考数学复习专题：函数(含答案)

函数的最值问题五大重要求解方法（专项练习） 高考复习专题：函数(含答案) 在高中数学函数知识的学习中，最值问题是其中一个非常关键的知识点，是一种非常典型的能力考查题。最值问题与函数的联系密切，同时也涉及到较多方面的知识，遍及代数、几何及三角等等的内容，贯穿于高中数学的各个知识模块。求解最值的问题，需要具有全面的分析问题及灵活的解决问题的能力，是高考数学中的热点和难点内容。为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的求解方法，就该问题的常用解法，分类浅析如下，仅供参考。 方法一、配方法 1、函数f（x）=x2-4x+6在x∈[1,5]的最小值为 ；最大值为 。 2、已知函数，则函数y的最小值为 。 方法二、换元法 1、函数 的值域为 2、设， ，则的最小值为 。 方法三、不等式法 1、已知，且，则的最小值为 。 2、已知，则的最小值是________。 方法四、函数单调性法 1、函数y＝x－在[1，2]上的最大值为（ ）。 A．0 B． C．2 D．3 方法五、平方法 1、函数y=+的最大值为M,最小值为N，则的值 是 。 方法一、配方法 1、函数f（x）=x2-4x+6在x∈[1,5]的最小值为 ；最大值为 。 【解答】 ∵f（x）=x2-4x+6=（x-2）2+2 f（x）是一个开口朝上的二次函数，对称轴为x=2在[1,5]中间 ∴f（x）min= f（2）= 22-4×2+6=2 f（x）max= f（5）= 52-4×5+6=11 2、已知函数，则函数y的最小值为 。 【解答】 ∵ = 令，（） ∴ 对称轴为 当≤2且≠0时， = 当时， 【方法与技巧】 配方法是函数最值求解当中比较常见的一种类型，通常应用于二次函数y=（≠0）这一类型的基本方法。主要是利用二次函数的性质，通过将函数解析式进行配方，转化为二次函数的顶点式 ，然后再根据定义域的取值范围进行结合求解函数的最值。 其中，需要特别注意对称轴与自变量取值范围的相对位置关系。当对称轴在自变量取值范围内的时候，即为函数的最值，而另一最值则处于端点的位置；如果对称轴处于自变量取值范围外部，那么，函数的最值则位于端点位置。 此外，最大值或是最小值的确定，还需要根据二次函数图像的开口朝向来确定。 方法二、换元法 1、函数 的值域为 。 【解答】 令=t（t≥0），∴x=t2–1，∴y=t2–t–1（t≥0） ∵抛物线y=t2–t–1开口向上，对称轴为直线t=∈[0，+∞）， ∴当t= 时，y取得最小值为–，无最大值， ∴函数f（x）的值域为[–，+∞） 2、设， ，则的最小值为 。 【解答】 ∵ 令，，（），∴ ∴ ∴的最小值是-3 【方法与技巧】 换元法是指在解题过程中，我们可以通过引入一个或几个新的变量，来替换原来解析式中的的某些变量(或者是代数式），从而简化所求函数，使得所求的问题得以顺利解决的一种数学方法。 换元法可以说是目前实现函数最值问题求解的常用方式。常用的换元法有两类，分别是代数换元（如例3）和三角换元（如例4）。在实际的应用中，我们可以根据具体的情况及题目的已知条件去灵活选地择换元的方法和化简的技巧，达到将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题的目的，并在此基础上联系自变量的取值范围顺利求出原函数的最值。 此外，需要特别注意的是，在进行换元的时候，一定要记得保持变换的等价性。也就是说，换元前和换元后变量的取值是等价的。 方法三、不等式法 1、已知，且，则的最小值为 。 【解答】 ∵，∴ ∴ ≥ （当且仅当时取“=”） 2、已知，则的最小值是________。 解：∵，∴ ∴ ， （当且仅当，即当时取“=”） 【方法与技巧】 利用不等式法来求解函数的最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法。 1、重要不等式：对，有，当且仅当时，等号成立。 2、基本不等式：如果，则，当且仅当时，等号成立。 求解时需要注意三个方面：（1）要注意检验基本不等式成立的三个条件：“一正、二定、三相等”。（2）利用不等式法求解最值的关键是确定定值，所以，在求解时要注意函数解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出常数。对于条件最值问题，则应首先考虑常数的代换，通过将函数解析式乘以常数“1” 来构造基本不等式。（3）在变形的过程中，还要注意灵活地利用符号的变化将原函数转化为正数的最值问题，从而使问题得以顺利解决。 方法四、函数单调性法 1