利用“张角定理”秒杀解三角形（专项练习）高考数学复习专题：解三角形(含答案)

利用“张角定理”秒杀解三角形（专项练习） 高考复习专题：解三角形(含答案) 将解三角形与平面几何结合一起，可以总结出一个处理平面几何问题的一个较为实用的方法。这个方法可以由效地处理三点共线等几何问题。同时，结合三角形面积公式、正余弦定理等几何知识技巧，可以化简解题步骤，解决相关问题。 一、张角定理 所谓“张角”，也就是张开的角度的意思，是从三角形一个顶点出发的三条边所构成的图形里的一种边与角的关系的定理。 张角定理其实是指，在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为、b、c，如果∠BAD=α，∠CAD=β，则有： 。 【证明】 ∵ ∴ 两边同除以AB·AC·AD得： 1、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，AD是∠BAC的角平分线，若∠BAC，|AD|，则的最小值是多少？ 2、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC, AB，AD=3，则CD是多少？ 二、角平分线张角定理 1、在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为、b、c，如果∠BAD=α，AD是∠BAC的角平分线，则有： 【证明】 ∵ ∴ 即 两边同除以得： ∴ 2、在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为、b、c，如果∠BAD=α，AD是∠BAC的角平分线， 则有： 【证明】∵由角平分线张角定理得： ∴ ∵ （当且仅当时取“=”） ∴ 即 ∴ ≥ = 1、如图，已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为、b、c，且，点M在线段AB上，且∠ACM=∠BCM, ，则cos∠BCM的值为多少？ 2、△ABC中，内角A、B、C的对边分别为、b、c，∠ABC，BD平分∠ABC交AC于点D，BD=2，则△ABC的面积的最小值为多少？ 一、张角定理 1、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，AD是∠BAC的角平分线，若∠BAC，|AD|，则的最小值为多少？ 【解答】如图： ∵AD是∠BAC的角平分线 ∴ 由张角定理得： 即 ∴ ∴ = ≥ = （当且仅当，即时取“=”） 2、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC, AB，AD=3，则CD是多少？ 【解答】如图： ∵sin∠BAC ∴cos∠BAC 由张角定理得： 即 ∴ ∴ 二、角平分线张角定理 1、如图，已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为、b、c，且，点M在线段AB上，且∠ACM=∠BCM, ，则cos∠BCM的值为多少？ 【解答】∵ ∴由正弦定理得： 即 即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在Rt△BCM中， ∵由角平分线张角定理得： 即 ∴ 或 （舍） 2、△ABC中，内角A、B、C的对边分别为、b、c，∠ABC，BD平分∠ABC交AC于点D，BD=2，则△ABC的面积的最小值为多少？ 【解法一】如图， ∵BD平分∠ABC ∴ ∴ 【解法二】∵BD平分∠ABC ∴ 由张角定理得： 即 ∴ ∵≥ 即 ∴ ∴ ≥ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$