专题08 直线与圆综合大题10大题型（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

专题08 直线与圆综合大题 题型1 求圆轨迹 题型6 直线与圆：定值 题型2 大题基础：韦达定理型（重点） 题型7 直线与圆：定直线 题型3 圆过定点 题型8 两圆共切线应用 题型4 面积最值 （难点） 题型9 直线与圆存在性 题型5 直线与圆：过定点（常考点） 题型10 新定义 （难点） 题型一、求圆轨迹 （共3小题） 1．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 2．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆，直线过点 (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 3．（24-25高二上·浙江宁波·阶段检测）已知圆C：，点，点． (1)过点P作圆C的切线l，求出l的方程； (2)设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程． 题型二、大题基础：韦达定理型 （共3小题） 4．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆过点，且与圆：关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)过点作两条相异直线分别与圆相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴交于点、且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由． 5．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）在直角坐标系中，、，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)过坐标原点的动直线与轨迹交于点、，点. ①若，求弦的长； ②对于任意直线，存在常数，满足，求的值. 6．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆C：，点D在圆C上运动，且点T满足（O为原点），记点T的轨迹为E. (1)求曲线E的方程； (2)若直线上存在一点P，过P作曲线E的两条切线，切点分别为G、H，若，求实数k的取值范围； (3)过点且不与x轴重合的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 题型三、圆过定点 （共3小题） 7．（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 8．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知圆：，是直线：上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为，． (1)当点的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点在直线上运动时且点的横坐标，求四边形面积的取值范围； (3)证明：当点在直线上运动时，直线过定点． 9．（24-25高二上·山东·期中）已知圆C过点，，圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程. (2)若M为y轴上的一个动点，过M作圆C的两条切线、，切点为A、B，求证：直线过定点. 题型四、面积最值 （共3小题） 10．（25-26高二上·浙江·期末）已知直线与圆交于两点． (1)求弦长的取值范围； (2)求面积的最大值，并求此时的值； (3)若圆在点处的两条切线交于点，求点的轨迹方程． 11．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知圆与直线相切于点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆相交于两点，是坐标原点.求的面积最大值，并求取得最大值时直线的方程. 12．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆过点和，圆心在轴上． (1)若过点的直线与圆交于，两点，当时，求直线的一般式方程； (2)过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，两点，记，的面积为，，求的最大值； (3)过点斜率存在且不为0的直线与圆交于，两点，是否存在轴上的定点（不同于），使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，请说明理由． 题型五、直线与圆：过定点 （共3小题） 13．1．（25-26高二上·安徽池州·期中）已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. (1)求圆C的方程； (2)设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 14．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动． (1)求线段的中点的轨迹的方程； (2)求过点并与轨迹相切的直线方程． 15．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知过定点的直线被圆截得的弦长为． (1)求直线的方程． (2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． （i）求曲线方程； （ii）已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为、，判断直线是否过定点?求出该定点，并说明理由； 题型六、直线与圆：定值 （共3小题） 16．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知点为线段的中点，，点为圆上动点. (1)求点的轨迹曲线的方程； (2)过点且斜率不为零的直线与（1）中曲线交于不同的两点， （i）求直线斜率的取值范围； （ii）直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 17．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 (1)求曲线的方程． (2)过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程． (3)斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，直线的斜率分别为，且．若为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 18．（24-25高二上·湖北·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 (1)求曲线的方程 (2)过点作直线交曲线于两个不同的点，，且不过曲线的中心，再过点，分别作曲线的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程 (3)斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，，直线，的斜率分别为，，且.若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值 题型七、直线与圆：定直线 （共3小题） 19．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. (1)求实数b的取值范围; (2)若，求四边形ABDC的面积关于b的表达式; (3)若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 20．（25-26高二上·江西萍乡·阶段检测）平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，圆交于点． (1)若直线的斜率为，求弦的长； (2)若的中点为，求面积的取值范围； (3)已知圆交轴于两点，当直线的斜率存在时，证明：直线的交点在一条定直线上. 21．（24-25高二上·四川广安·期中）平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于P，Q两点，且P，Q不在y轴上, ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线，相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 题型八、两圆公切线应用 （共3小题） 22．（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 23．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 24．（25-26高二上·河北雄安·期中）已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切. (1)求圆的标准方程； (2)求圆和圆的公切线的方程； (3)过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：. 题型九、直线与圆存在性 （共3小题） 25．（24-25高二上·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，四点都在圆上. (1)求圆的方程； (2)已知为坐标原点，点，圆上是否存在点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 26．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知圆C的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，圆C被直线截得的弦长为4. (1)求圆C的方程； (2)设点D在圆C上运动，且点T满足，（O为坐标原点）记点T的轨迹为E. ①求曲线E的方程； ②过点的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 27．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆的圆心在直线上，且经过点和. (1)求圆的标准方程； (2)设点在上运动，且点满足（为原点）,记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②过点的直线与曲线交于、两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 题型十、新定义 （共3小题） 28．（25-26高二上·山西太原·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）．已知圆，圆，且． (1)判断圆与圆的位置关系； (2)若直线与圆交于两点，圆与轴交于两点．求证：直线与的交点在定直线上． 29．（19-20高一上·北京·开学考试）新定义：在平面直角坐标系中，若几何图形与有公共点，则称几何图形的叫的关联图形，特别地，若的关联图形为直线，则称该直线为的关联直线.如图，为的关联图形，直线为的关联直线. （1）已知O是以原点为圆心，为半径的圆，下列图形： ①直线；②直线；③双曲线，是的关联图形的是__________（请直接写出正确的序号）； （2）如图1，的圆心为，半径为，直线与轴交于点，若直线是的关联直线，求点的横坐标的取值范围； （3）如图2，已知点、、，经过点，的关联直线经过点，与的一个交点为；的关联直线经过点，与的一个交点为；直线、交于点，若线段在直线上且恰为的直径，请直接写出点横坐标的取值范围. 30．（25-26高二上·吉林长春·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点P到的距离是点P到的距离的2倍. (1)求点P的轨迹Ω的方程； (2)若直线为，证明：无论a为何值，直线与轨迹Ω恒有两个交点； (3)过点B作直线交轨迹Ω于P，Q两点，P，Q不在y轴上.过点B作与直线垂直的直线交轨迹Ω于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 直线与圆综合大题 题型1 求圆轨迹 题型6 直线与圆：定值 题型2 大题基础：韦达定理型（重点） 题型7 直线与圆：定直线 题型3 圆过定点 题型8 两圆共切线应用 题型4 面积最值 （难点） 题型9 直线与圆存在性 题型5 直线与圆：过定点（常考点） 题型10 新定义 （难点） 题型一、求圆轨迹 （共3小题） 1．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案； （2）先设出点Q和点P的坐标，再根据向量关系得到坐标之间的关系，最后将点P的坐标代入圆C的方程，从而得到点Q的轨迹方程. 【详解】（1）因为，所以点A在圆外， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为2，所以直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，解得. 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）设，，则. 因为，所以，即. 又因为点在圆C：上，所以. 将代入可得， 整理得，即点Q的轨迹方程为. 2．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆，直线过点 (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用点到直线的距离为半径可求切线方程，注意就斜率是否存在分类讨论； （2）利用动点转移法可求点的轨迹方程. 【详解】（1）若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为半径， 故直线为圆的切线； 若直线的斜率存在，设切线方程为， 则，故，此时切线方程为， 综上，切线的方程为或. （2）设点则，由点是的中点得， 所以① ，因为在圆上运动，所以②， ①代入②得  化简得点的轨迹方程是. 3．（24-25高二上·浙江宁波·阶段检测）已知圆C：，点，点． (1)过点P作圆C的切线l，求出l的方程； (2)设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）分切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况求解即可； （2）设，，结合重心的性质可得，进而结合A为圆C上的动点求解即可. 【详解】（1）由C：， 则圆心，半径， 当切线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意； 当切线l的斜率存在时,则设切线l的方程为，即， 所以，解得， 此时切线l的方程为，即. 综上所述，切线l的方程为或. （2）设，， 因为，，G为三角形APQ的重心， 所以，即， 由A为圆C上的动点，得， 则，整理得， 即动点G的轨迹方程为． 题型二、大题基础：韦达定理型 （共3小题） 4．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆过点，且与圆：关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)过点作两条相异直线分别与圆相交于，． ①若直线和直线互相垂直，求的最大值； ②若直线和直线与轴交于点、且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由． 【答案】(1) (2)① ②平行，理由如下： 由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设， ， 由，得， 因为的横坐标一定是该方程的解，故可得 ， 同理，， ， 所以，直线和一定平行． 【分析】（1）根据对称关系求出圆方程即可； （2）①令、即，为过点的两条弦，设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，由垂直关系可得四边形是矩形，即，进而根据半弦长，弦心距，圆半径构造直角三角形，满足勾股定理，得到，进而由基本不等式，得到的最值，从而求得结果； ②由已知直线和直线与轴分别交于点、，且，可得直线与斜率都存在，且互为相反数，可设，，求出，坐标后，代入斜率公式，判断直线和的斜率是否相等，即可得到答案. 【详解】（1）由题可得圆圆心为， 设圆心，则，解得 则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为 （2）①令、即，为过点的两条弦， 设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，， 由圆的性质可知： ， 所以，即，化简得 从而， 时取等号，此时直线，必有一条斜率不存在 综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为； ②略. 5．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）在直角坐标系中，、，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)过坐标原点的动直线与轨迹交于点、，点. ①若，求弦的长； ②对于任意直线，存在常数，满足，求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据已知条件，结合两点间距离公式，化简整理即可求出圆的方程； （2）①解法一：设直线的方程，联立圆的方程，表示出韦达定理，利用弦长公式即可求出弦长； 解法二：求出圆与轴的交点坐标，根据相交弦定理可求出的值，再根据即可得出答案； ②根据已知条件，结合两点间距离公式即可建立等量关系求出的值. 【详解】（1）由可得，则， 化简整理得，即圆的方程为； （2）①解法一：在圆的方程中令，可得或， 所以圆交轴于点、，此时，故直线不与轴重合， 设直线的方程为，设点、， 联立方程组得，化简整理得， 则， 由韦达定理可得，， 因为，所以， 又，，则， 所以，解得， 又，所以，解得，则， 所以，， 由弦长公式； 解法二：在圆的方程中令，可得或， 所以圆交轴于点、，则，， 由相交弦定理可得，解得， 所以. ②由，则，即， 又点在圆上，则， 所以，代入上式可得， 化简整理得， 又知对任意动直线均满足，所以，消去可得， 整理得，解得或， 当时，点与原点重合，舍去，所以. 6．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆C：，点D在圆C上运动，且点T满足（O为原点），记点T的轨迹为E. (1)求曲线E的方程； (2)若直线上存在一点P，过P作曲线E的两条切线，切点分别为G、H，若，求实数k的取值范围； (3)过点且不与x轴重合的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在点，使得x轴平分. 【分析】（1）利用相关点法求曲线方程； （2）根据条件转化为直线上存在一点P，使，转化为点为圆心，为半径的圆与直线有交点，即可列式求解； （3）首先设垂直于轴时，满足条件，当不与轴垂直时，设直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求定点的坐标. 【详解】（1）设，，则 因为，所以，， 所以，整理为， 所以曲线的方程为； （2）由条件可知，若存在点，使， 所以四边形是正方形，则， 则以点为圆心，为半径的圆与直线有交点， 所以，解得：， 所以的取值范围是； （3）当直线轴时，两点关于轴对称，则轴正半轴上任意点，使得轴平分； 当直线不与轴垂直时，设，直线为，与曲线联立， 得， ， 设，， ，， 由题可知，，代入，， 化简得，即， 代入韦达定理， 整理为，得， 综上可知，轴上存在点，使得x轴平分. 题型三、圆过定点 （共3小题） 7．（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2) 若直线的斜率不存在，则可设， 所以， 消去得，再代入不存在， 所以直线的斜率存在. 设直线的方程， 所以， 整理得， ① 直线方程与圆C方程联立，， 消去y得， 所以代入 ① 得， 由于，整理得，即， 所以直线l的方程为，即， 令，解得， 所以直线l过一个定点，该定点坐标为. 【分析】（1）由圆心在直线上，可设圆心坐标，由圆心到切线的距离等于半径列方程解得a后可得圆方程； （2）分类讨论，直线斜率不存在时，可设，由已知求出，但此直线与圆无交点，不合题意；直线l的斜率存在．设直线l的方程，把已知用坐标表示出来，记为①式，由直线与圆相交，直线方程与圆方程联立，消元后应用韦达定理得，代入①式，得出的关系式，代入直线方程整理可得直线过的定点的坐标． 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设， 因为圆C经过点，所以圆C的半径， 因为圆C和直线相切，所以圆C的半径， 所以. 化简，得，解得. 所以，半径. 所以圆C的方程为. （2）略 8．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知圆：，是直线：上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为，． (1)当点的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点在直线上运动时且点的横坐标，求四边形面积的取值范围； (3)证明：当点在直线上运动时，直线过定点． 【答案】(1)或 (2) (3)（法一）设点， 则， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 即， 因为直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得， 整理得， 令解得，即直线过定点． （法二）设点， 则以为直径的圆的方程为， 即， 因为直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得， 整理得， 令解得，即直线过定点， 则当点在直线上运动时，直线过定点. 【分析】（1）求出点P坐标后，借助切线定义，分斜率不存在与斜率存在进行讨论即可得； （2）由切线性质计算可得，再利用点到直线的距离公式可求出的取值范围，即可得解. （3）（法一）设点，利用两点间距离公式求出，得到以为圆心，为半径的圆的方程，由直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得相交弦所在的直线方程，联立方程组得到直线所过的定点．（法二）设点，求出以为直径的圆的方程，由直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得相交弦所在的直线方程，联立方程组得到直线所过的定点． 【详解】（1）圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点， 则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或． （2）设点， 则四边形的面积为： ， 因为，所以． （3）略 9．（24-25高二上·山东·期中）已知圆C过点，，圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程. (2)若M为y轴上的一个动点，过M作圆C的两条切线、，切点为A、B，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明：依题意，设点，因为、与圆C相切，连结、，可知，，    所以， ， 所以，以M为圆心，以、为半径的圆的方程为：， 联立，两式作差并化简得直线的方程为：， 当时，，所以，直线过定点（3,0）. 另解1：依题意，设点，因为、与圆C相切，连结、， 可知，，，则点A，B在以为直径的圆上， 由点，可知为直径的圆的方程为， 联立，可得直线的方程为：， 当时，，所以，直线过定点（3，0）. 另解2：依题意，设点，，， 因为与圆C相切，则， 而，所以，即 整理得， 而，则， 因为与圆C相切，则， 而，所以，即 整理得， 而，则， 所以点A，B都在直线上，即直线的方程为：， 当时，，所以，直线过定点（3,0）. 【分析】（1）根据中垂线的性质求出方程，联立，求出圆心，根据两点间的距离公式求出半径即可得； （2）方法一，根据圆的切线性质得以M为圆心，以、为半径的圆的方程，和圆C联立求出公共弦所在直线，再根据点斜式求出定点；方法二，根据直径求出以M为圆心，以、为半径的圆的方程，和圆C联立求出公共弦所在直线，再根据点斜式求出定点；方程三，根据圆的切线性质得，，根据数量积求出公共弦所在直线方程，再根据点斜式求出定点. 【详解】（1）由，可得，的中点，， 所以，线段的中垂线斜率为1， 所以线段的中垂线方程为：， 联立可得，圆心C点坐标为， 圆C的半径， 所以圆C的标准方程为：. （2）略 题型四、面积最值 （共3小题） 10．（25-26高二上·浙江·期末）已知直线与圆交于两点． (1)求弦长的取值范围； (2)求面积的最大值，并求此时的值； (3)若圆在点处的两条切线交于点，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)最大值，． (3)． 【分析】（1）求出直线所过定点坐标并确定该点与圆的位置关系，再求出圆心到直线距离的范围，利用弦长公式即可求出弦长范围. （2）利用余弦定理求出的范围，再结合三角形面积公式求出面积的最大值及. （3）求出切点弦所在直线方程，由该直线过定点即可求出轨迹方程. 【详解】（1）依题意，直线过定点， 圆的圆心，半径， 因为，所以点在圆内， 圆心到直线距离的取值范围为， 而， 所以弦长的取值范围为. （2）在中，由余弦定理得， 而，则，， 因此的面积，当且仅当时取等号， 而直线的斜率为，则直线的斜率为，即， 所以面积的最大值，此时. （3）设点，而点共圆，则以线段直径的圆方程为： ，即， 把以线段直径的圆方程与圆的方程相减得直线的方程， 又直线过定点，于是， 所以点的轨迹方程为. 11．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知圆与直线相切于点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆相交于两点，是坐标原点.求的面积最大值，并求取得最大值时直线的方程. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据圆心在直线上可设圆心为，结合圆与直线相切于点可得，再利用圆心到直线的距离等于半径，求解方程组即可；（2）根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合得到的弦长，然后得到的面积有关式子，配方后利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）依题意，设圆心为，半径为， 因为圆与直线相切于点，所以， 解得，所以圆心为； 所以圆的方程为：. （2）方法1：    因为直线，即，所以圆心到直线的距离为， 所以； 所以的面积为； 易知，即，解得且； 设，则，即，所以； 所以当，即时，的面积取得最大值； 此时，直线，即或. 方法2：      依题意，的面积为，当， 即时等号成立； 此时，为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为； 又圆心到直线的距离为；所以，解得， 所以直线，即或； 综上，的面积的最大值为，取得最大值时直线的方程为或. 12．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆过点和，圆心在轴上． (1)若过点的直线与圆交于，两点，当时，求直线的一般式方程； (2)过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，两点，记，的面积为，，求的最大值； (3)过点斜率存在且不为0的直线与圆交于，两点，是否存在轴上的定点（不同于），使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2) (3)存在，或，理由如下： 设，，， 联立，得， 则， 因为， 同理可得， 所以 ， 若为定值，则， 即，即， 得或（舍去），此时或. 【分析】（1）先求出圆的标准方程，再依据直线的斜率是否存在进行讨论，利用弦长公式可求； （2）设，，与圆的方程联立，再根据可得； （3）设，，，将直线与圆的方程联立得出韦达定理，再利用两点间距离公式求出并化简即可得出. 【详解】（1）设圆的方程为， 则，得， 则圆的方程为， 若直线的斜率不存在，则，则，符合题意； 若直线的斜率存在，设，即， 则点到直线的距离为，得， 则直线的一般式方程为或； （2）设，， 联立，得，则， 则，， 因为，则，同理可得 则，等号成立时， 故的最大值为； （3）略 题型五、直线与圆：过定点 （共3小题） 13．1．（25-26高二上·安徽池州·期中）已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. (1)求圆C的方程； (2)设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； (3)若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】(1) (2) (3) 设直线l的方程为，，， 由得， 所以， 且 由，得， 所以， 所以，所以直线l的方程为，当时，恒有， 即直线l过定点. 【分析】（1）根据圆的概念，以及中点的坐标公式，求出动点的轨迹方程即可. （2）根据两点之间的距离公式，以及圆与圆的位置关系，根据圆的弦长公式，求出参数范围即可. （3）根据直线与圆的位置关系，以及韦达定理，根据斜率之积为定值，求出参数之间的关系，进而求出直线经过的定点即可. 【详解】（1） 如图所示，设， 因为是中点，所以，即， 因为B在圆上运动，所以， 即，整理得圆C方程为. （2） 设，因为，所以， 化简得，所以 当时，点P的坐标为，不在圆C上，不符合题意. 当时，点P在以为圆心，为半径的圆上， 依题意圆D与圆C有公共点，又， 所以，解得. 所以的取值范围为. （3）略 14．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动． (1)求线段的中点的轨迹的方程； (2)求过点并与轨迹相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设点的坐标为，点的坐标为，由中点坐标公式化简得出，代入等式化简可得出轨迹的方程； （2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，直接验证即可；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，求出的值，综合可得出切线的方程. 【详解】（1）设点的坐标为，点的坐标为， 由于点的坐标为，且点是线段的中点，所以，， 于是有①， 因为点在圆上运动，即②， 把①代入②，得， 整理，得， 所以点的轨迹的方程为． （2）由圆，可得圆心，半径， 若过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离，所以是圆的切线； 若过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 所以，所以，解得， 所以切线方程为，即． 综上所述：过点并与圆相切的直线方程为或． 15．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知过定点的直线被圆截得的弦长为． (1)求直线的方程． (2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线． （i）求曲线方程； （ii）已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为、，判断直线是否过定点?求出该定点，并说明理由； 【答案】(1)或 (2)（i）； （ii） 圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点， 则可设， 因为都是圆的切线， 所以， 所以也在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为， 半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 即①， 化为②， 由①②整理得， 所以直线的方程为， 即， 令，解得， 所以直线过定点.    【分析】（1）根据圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，分直线的斜率是否存在两种情况，再根据点到直线的距离等于半径即可得解； （2）（i）设，由M是线段的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果； （ii）由题意可得在以为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，进而求出公共弦所在直线的方程，进而可得出结论. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为， 则，所以， 当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得或， 时，直线的方程为， 时，直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （2）（i）设点， 由点的坐标为，且是线段的中点， 则，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程，    即，整理得， 所以点的轨迹方程为； （ii）略 题型六、直线与圆：定值 （共3小题） 16．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知点为线段的中点，，点为圆上动点. (1)求点的轨迹曲线的方程； (2)过点且斜率不为零的直线与（1）中曲线交于不同的两点， （i）求直线斜率的取值范围； （ii）直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）； （ii），理由为： 由（i）知，，， 则 ， 所以是定值5. 【分析】（1）设，，利用相关点法即可求出轨迹方程； （2）设直线的方程为，，，联立直线和曲线的方程，消去后，（i）由可求出斜率的取值范围；（ii）利用斜率公式及韦达定理可求出. 【详解】（1）设，，由中点坐标公式得， 因为点为圆上动点，所以， 所以， 整理得曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为，，， 联立，消去得：， 所以， 解得，又， 所以直线斜率的取值范围为. （ii）略 17．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 (1)求曲线的方程． (2)过点作直线与曲线相切，切点分别为点，求直线的方程． (3)斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，直线的斜率分别为，且．若为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3) 设直线， ，得， 即， 则， 所以， 所以直线的方程为，即直线过定点， 因为为定值，为直角三角形，为斜边，    所以当是的中点时，， 所以存在定点为定值． 【分析】（1）设线段的中点为，利用点与圆的位置关系得曲线的方程； （2）根据四点共圆可得圆的方程，由此可得直线是两圆公共弦所在直线，从而可得直线的方程； （3）设直线，联立直线与圆得交点坐标关系，再结合坐标运算与距离公式可得结论. 【详解】（1）设线段的中点为， 因为点在圆上， 所以，化简得， 所以曲线的方程为． （2）因为 所以四点共圆，圆心为的中点(4,2)，半径为， 即圆的方程为，    直线是两圆公共弦所在直线，， 作差得，所以直线所在的直线为． （3）略 18．（24-25高二上·湖北·期中）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，记线段中点的运动轨迹为曲线 (1)求曲线的方程 (2)过点作直线交曲线于两个不同的点，，且不过曲线的中心，再过点，分别作曲线的切线，两条切线交于点，求证：点在同一直线上，并求出该直线的方程 (3)斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点，，直线，的斜率分别为，，且.若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值 【答案】(1) (2)设，，，点在圆外部， 由，可得，即， 又，可得， 同理，由可得， 所以直线所在的直线为，又点在直线上， ，即， 所以点在同一条直线上，直线方程为. (3)设直线，，，， 由，得， ，， ，即， ，所以， 所以直线的方程为，即直线过定点， 因为为定值，为直角三角形，为斜边， 所以当是的中点时，， 所以存在定点，使得为定值. 【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程； （2）设，，，由，可得直线所在的直线方程，又点在直线上，可得证； （3）设直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求解定点坐标，由几何图形可知，，再利用直角三角形，斜边的中线等于斜边的一半，即可求出定点坐标. 【详解】（1）设线段的中点为，， ，即， 因为点在圆上， 所以，化简得， 所以曲线的方程为. （2）略 （3）略 题型七、直线与圆：定直线 （共3小题） 19．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D. (1)求实数b的取值范围; (2)若，求四边形ABDC的面积关于b的表达式; (3)若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【分析】（1）利用圆与直线相交可建立关于的不等式，求解即可； （2）联立圆与直线的直线方程，利用韦达定理和表示出四边形ABDC的面积即可； （3）表示出直线AD和直线BC交的直线方程，联立方程组得到的值，再结合韦达定理可得实数. 【详解】（1）圆的半径为2，因为直线和圆交于A，B两点， 所以圆心到直线的距离， 解得， 则实数b的取值范围为； （2）设，则， 由得， 所以，， 则， 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积 ，， （3），则，且直线、的斜率存在， 由（2），，， 直线，直线， 联立得， 若为常数，则，其中为常数， 可得，解得， 所以当时点在一条平行于轴的直线上.    20．（25-26高二上·江西萍乡·阶段检测）平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，圆交于点． (1)若直线的斜率为，求弦的长； (2)若的中点为，求面积的取值范围； (3)已知圆交轴于两点，当直线的斜率存在时，证明：直线的交点在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3) 圆，圆心，半径. 由题意直线存在斜率，设直线，设， 联立消得，，由韦达定理得，，. 则，即（） 又圆与轴交于， 则直线，直线， 联立两直线方程消得，， 将（）式代入得，， 解得.故直线交点在定直线上. 【分析】（1）由垂直关系结合已知的斜率可得的斜率，写出直线的方程，由点线距离公式结合直角三角形勾股定理求出半弦长，进而得弦长； （2）按直线的斜率情况分类求解，特殊情况直接求解面积可得，一般情况设出直线，再由圆弦的存在情况可得的范围，再利用点线距公式表示圆弦及长（即点到直线的距离），从而得到面积表达式，再利用整体换元求解函数值范围可得. （3）设出直线，联立直线与圆方程由韦达定理可得两点坐标与的关系，求解并联立直线方程，由交轨法解得交点纵坐标即可得； 【详解】（1）圆，圆心，半径. 若直线的斜率为，则直线斜率为， 则直线方程为，即， 所以圆心到直线的距离. .故弦的长为. （2）①当直线的斜率不存在时，如图，此时的面积； ②当直线的斜率存在且为时， 直线的方程为，经过圆心， 过点且垂直于的直线（即轴）不与圆相交，故此时不存在； ③当直线的斜率存在，设为且时，设直线，即. 则直线，即 由圆心到直线的距离，得，解得． 所以圆心到直线的距离，因为，即，所以． 由，所以， 所以E点到直线的距离即点到直线的距离， 所以的面积， 令，则，所以， 因为，所以，所以，综上所述，面积的取值范围是.        （3）略 21．（24-25高二上·四川广安·期中）平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于P，Q两点，且P，Q不在y轴上, ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线，相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)； (2)①最大值为7；②点N在定直线上. 【分析】（1）设圆的标准方程，根据所过的点列方程求参数，即可得圆的方程； （2）①法一：设直线为，直线为，应用几何法求弦长，结合得到关于k的表达式，应用基本不等式求最值； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，应用几何法得弦长关于、的表达式，结合、基本不等式求最值； ②设，，联立直线与圆得一元二次方程，应用韦达定理并结合直线的方程为，直线的方程为求点N坐标. 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； （2）①设直线为，即， 则圆心到直线距离，所以， 若，则直线斜率不存在，则，，则， 若，则直线为，即， 则圆心到直线距离，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为7； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以S的最大值为7；    ②设，，联立， 消y得，则，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得， 则， 所以，所以点N在定直线上. 【点睛】关键点点睛：第二问，一小问中利用圆弦长的几何求法及得到关于某个参数的表达式为关键 题型八、两圆公切线应用 （共3小题） 22．（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 【答案】(1) (2)圆与圆外切，. 【分析】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为，线段的中垂线方程为，与已知直线联立，解得圆心，计算，得到半径； （2）圆心距，恰好等于两圆半径之和，因此两圆外切；设公切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程组：解得三组解即得. 【详解】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为， 线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以直线与直线的交点就是圆心. 由得即. 又， 所以圆的方程为. （2）由题可知， 所以， 两个圆的半径之和为， 所以圆与圆外切， 所以圆与圆有三条公切线，设其中有斜率的公切线方程为， 由圆心到切线的距离等于半径，得， 解得或或 所以公切线的方程为或或， 故其中一条公切线方程为：.（也可答另外两条中的其中一条） 23．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两圆公切线条数判定两圆相交，根据相交的充要条件列出不等式求解. （2）将两圆方程相减得相交弦的方程，再由圆的弦长公式求公共弦长，最后根据面积公式求值即可. 【详解】（1）因为圆与圆恰有条公切线， 所以圆与圆相交， 又圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径 所以， 故，所以， 解得； （2）当时，圆的方程可化成， 所以， 所以， 因为圆与圆相交于两点， 所以所在的直线方程为， 化简得：， 所以到直线的距离为， 所以， 又， 所以四边形的面积为 24．（25-26高二上·河北雄安·期中）已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切. (1)求圆的标准方程； (2)求圆和圆的公切线的方程； (3)过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：. 【答案】(1) (2)或或或 (3) 设过点的直线的方程为，整理为，     点到直线的距离为，点到直线的距离为， 可得.     又由，， 所以.    【分析】（1）根据题意可得圆的圆心坐标为，即可写出圆的标准方程； （2）先判断圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，易得轴和轴与圆和圆均相切，再根据直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线，求另外两条公切线； （3）设过点的直线的方程为，利用几何法求弦长可证. 【详解】（1）由圆与两条坐标轴均相切，圆的圆心在第二象限，半径为1， 可得圆的圆心坐标为， 故圆的标准方程为. （2）由，，有， 又由，可得圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，     又由，，圆和圆的半径分别为1，2， 在平面直角坐标系中画出圆和圆的图象，可知轴和轴与圆和圆均相切，    直线的方程为，整理为， 可得直线与轴的交点为. 设直线的倾斜角为，有，有， 由于直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线， 可得圆和圆的另一条公切线的斜率为， 可得另一条公切线的方程为，整理为， 轴与直线的交点为，可知点在圆和圆的另一条公切线上， 设另一条公切线的方程为，整理为， 有，解得.     可得另一条公切线方程为，整理为， 故圆和圆的公切线的方程为或或或. （3）略 题型九、直线与圆存在性 （共3小题） 25．（24-25高二上·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，四点都在圆上. (1)求圆的方程； (2)已知为坐标原点，点，圆上是否存在点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)两圆内含，故两圆无公共点. 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法可求圆的方程； （2）求出点的轨迹方程，根据圆心距与半径差的关系可判断两圆内含. 【详解】（1）设圆， 则，故， 故圆的方程为，而， 故也在圆上，故圆的方程为. （2）设，则， 整理得到：，其标准方程为， 故的轨迹为圆，圆心，半径为， 而圆：，而，其半径为， ，故两圆内含，故两圆无公共点. 26．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知圆C的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，圆C被直线截得的弦长为4. (1)求圆C的方程； (2)设点D在圆C上运动，且点T满足，（O为坐标原点）记点T的轨迹为E. ①求曲线E的方程； ②过点的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①②存在， 【分析】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程； （2）①利用代点法求出点的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可. 【详解】（1）由题意可设圆C的圆心C的坐标为，∵圆C的圆心C在直线上， ∴，解得：，即圆心为， ∴圆心到直线l的距离为， 设圆C的半径为r，则弦长为，由已知得 所以，所以圆C的标准方程为； （2）①设，，则，， 由得：，所以 D在圆C上运动， 整理可得点T的轨迹方程E为：    ②当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB， 当直线AB斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为， 联立化简可得， 方程的判别式 ， 设，，，则 ， 若x轴平分∠ANB，则，所以， 又，，所以， 所以， 所以 所以 解得， ∴存在时，能使x轴平分∠ANB. 27．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆的圆心在直线上，且经过点和. (1)求圆的标准方程； (2)设点在上运动，且点满足（为原点）,记点的轨迹为. ①求曲线的方程； ②过点的直线与曲线交于、两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，且定点为 【分析】（1）设点，根据结合两点间的距离公式求出的值，可得出圆心的坐标，求出圆的半径长，即可得出圆的标准方程； （2）（i）设点、，根据平面向量的坐标运算得出，代入等式化简可得曲线的方程； （ii）假设存在满足题设条件的点，设点、，设直线的方程为，将该直线方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，根据求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设点， 由题意得，即，解得， 所以圆心为，半径为， 故圆的标准方程为. （2）（i）设点、，由可得， 所以，解得， 因为点在上，所以（*）， 将代入等式（*）得，即， 故曲线的方程为； ②假设存在满足题设条件的点，设点、， 若直线的斜率为零，则直线与轴重合，不合乎题意，    设直线的方程为，联立, 可得， ， 由韦达定理可得，， 直线的斜率为， 同理可得直线的斜率为， 所以 ， 即对任意的恒成立，故，解得， 故在轴正半轴上存在定点，使得轴平分. 题型十、新定义 （共3小题） 28．（25-26高二上·山西太原·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）．已知圆，圆，且． (1)判断圆与圆的位置关系； (2)若直线与圆交于两点，圆与轴交于两点．求证：直线与的交点在定直线上． 【答案】(1)相交 (2) 由（1）得圆， 由得， 直线的方程为，直线的方程为， ， ， 直线与的交点在定直线上． 【分析】（1）利用圆的标准方程得出圆心坐标及半径，结合新定义判断关系即可； （2）根据（1）的结论得出坐标，联立直线与圆的方程，利用韦达定理得出相应坐标关系式，并含参表示两直线与的方程，作商计算交点横坐标即可. 【详解】（1）易得圆的标准方程为，其半径， ， 或（舍去），圆的圆心为，半径为， ， 圆与圆相交； （2）略 29．（19-20高一上·北京·开学考试）新定义：在平面直角坐标系中，若几何图形与有公共点，则称几何图形的叫的关联图形，特别地，若的关联图形为直线，则称该直线为的关联直线.如图，为的关联图形，直线为的关联直线. （1）已知O是以原点为圆心，为半径的圆，下列图形： ①直线；②直线；③双曲线，是的关联图形的是__________（请直接写出正确的序号）； （2）如图1，的圆心为，半径为，直线与轴交于点，若直线是的关联直线，求点的横坐标的取值范围； （3）如图2，已知点、、，经过点，的关联直线经过点，与的一个交点为；的关联直线经过点，与的一个交点为；直线、交于点，若线段在直线上且恰为的直径，请直接写出点横坐标的取值范围. 【答案】（1）①③；（2）；（3）或. 【分析】（1）根据的关联图形的定义判断即可； （2）直线的临界状态是和相切的两条直线和，求出两种特殊情形的点的横坐标即可解决问题； （3）设圆心，分两种情形：①当点在点的上方时；②当点在点的上方时，连接、交于点，根据三角形相似得出关于的表达式，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意①③是的关联图形，故答案为①③； （2）如下图， 直线是的关联直线，直线的临界状态是和相切的两条直线和， 当临界状态为时，连接（为切点），则，，且， 是等腰直角三角形，则，，， 把代中，得到， 同法可得当直线是临界状态时，， 点的横坐标的取值范围为； （3）如图3-1中，当点在点的上方时，连接、交于点， 设点，则的半径为，故点、， ， 因为，则，即， 解得，此时； 如图3-2中，当点在点的上方时，连接、交于点， 设点，则的半径为，故点、， ， 因为，则，即， 解得，则. 综上所述，或. 【点睛】关键点点睛：本题属于圆综合题，考查了的关联图形的定义，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题. 30．（25-26高二上·吉林长春·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点P到的距离是点P到的距离的2倍. (1)求点P的轨迹Ω的方程； (2)若直线为，证明：无论a为何值，直线与轨迹Ω恒有两个交点； (3)过点B作直线交轨迹Ω于P，Q两点，P，Q不在y轴上.过点B作与直线垂直的直线交轨迹Ω于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值. 【答案】(1) (2) 直线方程为，由，解得， 所以直线过定点， 因为，所以无论a为何值，直线与轨迹Ω恒有两个交点. (3)7 【分析】（1）设点为所求轨迹的任意一点，由，列出方程化简，即可求解. （2）根据题意，求得直线过定点，结合点与圆的位置关系的判定方法，即可求解； （3）设直线的方程为，直线的方程为，利用弦长公式，求得和，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：设点为所求轨迹的任意一点， 因为点P到的距离是点P到的距离的2倍，即， 即，化简得， 所以点P的轨迹Ω的方程为. （2）略 （3）解：由题易知直线的斜率k存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 若，则直线的斜率不存在， 由，，则； 若，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即时，取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为7. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $