（练习）微专题强化练1 三角函数的图像与性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

微专题强化练(一)　三角函数的图像与性质 一、选择题 1．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图像为(　　) A　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　D D　[由题意得 y＝ 显然只有D合适．] 2．已知函数f(x) ＝sin在区间[0，a](其中a>0)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． A　[由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z． 取k＝0，得－≤x≤， 则函数f(x) ＝sin的一个增区间为． ∵函数f(x) ＝sin在区间[0，a](其中a>0)上单调递增，∴0<a≤．] 3．已知ω>0，函数f(x) ＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A．　　　 B． C． D． A　[令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，则f(x) 的单调递减区间为，k∈Z，又f(x) 在上单调递减，所以k∈Z，所以k∈Z，又ω>0，∴当k＝0时，解得≤ω≤，当k≠0时，不等式组无解．综上，ω的取值范围是．] 4．若将函数y＝2sin 2x的图像向左平移个单位，则平移后图像的对称轴为(　　) A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z) C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z) B　[将函数y＝2sin 2x的图像向左平移个单位，得到函数y＝2sin＝2sin的图像．由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图像的对称轴为x＝＋(k∈Z)．] 5．函数y＝sin的图像与函数y＝cos的图像(　　) A．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴 A　[由2x－＝k1π＋，k1∈Z，可得函数y＝sin的图像的对称轴为直线x＝＋，k1∈Z． 由x－＝k2π，k2∈Z，可得函数y＝cos的图像的对称轴为直线x＝k2π＋，k2∈Z． 当k1＝k2＝0时，二者有相同的对称轴．由2x－＝k3π，k3∈Z，可得函数y＝sin的图像的对称中心为点，k3∈Z． 由x－＝k4π＋，k4∈Z，可得函数y＝cos的图像的对称中心为点，k4∈Z． 令＋＝k4π＋，k3，k4∈Z，解得k3＝2k4＋，与k3，k4∈Z矛盾． 故两个函数的图像没有相同的对称中心．] 6．要得到y＝3cos的图像，可以将函数y＝3sin的图像(　　) A．向左平移个单位 B．向左平移π个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移π个单位 C　[∵y＝3cos＝3sin＝3sin，∴将函数y＝3sin的图像向左平移个单位，便可得到函数y＝3cos的图像．] 二、填空题 7．声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt，已知函数f(x) ＝2cos(2x＋φ)(－π≤φ≤π)的图像向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数y＝2sin 2x图像重合，则φ＝________，若函数f(x) 在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是________． 　　[将函数y＝2sin 2x的图像向左平移个单位后可得到函数y＝f(x) 的图像， 则f(x) ＝2sin＝2sin ＝2sin＝2cos， 又f(x) ＝2cos(2x＋φ)(－π≤φ≤π)，所以φ＝， 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数y＝f(x) 的单调递减区间为(k∈Z)， 由0∈(k∈Z)，可得k＝0， 由于函数y＝f(x) 在区间[－a，a]上单调递减， 则[－a，a]⊆， 所以 解得0<a≤，则a的最大值为．] 8．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像，则这个函数的解析式为________． y＝3sin　[法一(最值法)：由图像知ymax＝3，ymin＝－3， ∴A＝3． ∵＝－＝， ∴T＝π，∴ω＝＝2． 将M代入y＝3sin(2x＋φ)， 得3sin＝3， ∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z， ∴φ＝2kπ＋，k∈Z， 又|φ|＜，∴φ＝． ∴y＝3sin． 法二(五点对应法)：由图像知A＝3，由图像过点和，根据五点对应法(以上两点可看作是五点对应法中的“第三点”和“第五点”)， 得解得 ∴y＝3sin．] 三、解答题 9．已知函数f(x) ＝2cos ωx(ω＞0)，且函数y＝f(x) 的图像的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求f 的值； (2)将函数y＝f(x) 的图像向右平移个单位后，再将得到的函数图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图像，求y＝g(x)的单调递减区间． [解]　(1)由题意可知＝π，故ω＝2， 则f(x) ＝2cos 2x， 故f ＝2cos＝． (2)将y＝f(x) 的