（练习）课时分层作业19 两角和与差的正切-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

课时分层作业(十九)　两角和与差的正切 一、选择题 1．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． C　[tan＝tan＝＝．] 2．已知tan 1°＝a，则tan 44°等于(　　) A．1－a B．1＋a C． D． D　[利用1°＋44°＝45°可得tan 45°＝．将tan 1°＝a代入上式， 解得tan 44°＝．故选D．] 3．若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于(　　) A．m　　　 B．(1－m) C．(m－1)　　 D．(m＋1) B　[由公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°) ＝(1－m)．] 4．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　) A．钝角三角形　　 B．锐角三角形 C．直角三角形　　 D．无法确定 A　[因为tan A，tan B 是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则tan A＋tan B＝，tan Atan B＝， 所以tan(A＋B)＝＝， 所以0<A＋B<，得<C<π， 所以△ABC是钝角三角形．] 5．(多选题)下列结果为的是(　　) A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35° B．(1＋tan 20°)(1＋tan 40°) C． D． AC　[对选项A，因为tan 25°＋tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°·tan 35°)＝－tan 25°tan 35°，所以原式＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝．对选项B，(1＋tan 20°)(1＋tan 40°)＝1＋tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝1＋(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°·tan 40°＝1＋－(－1)tan 20°tan 40°≠．对选项C，原式＝＝tan 60°＝．对选项D，原式＝＝．] 二、填空题 6．＝________． 　[原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝．] 7．若tan＝－，则tan＝________，tan α＝________． 　－4　[tan＝＝＝－， 解得tan α＝－4， tan＝＝＝．] 8．已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________． 1　[因为tan β＝＝， 所以tan β＋tan αtan β＝1－tan α． 所以tan α＋tan β＋tan αtan β＝1． 所以tan α＋tan β＝1－tan αtan β． 所以＝1，所以tan(α＋β)＝1．] 三、解答题 9．已知tan＝2，tan β＝， (1)求tan α的值； (2)求的值． [解]　(1)因为tan＝2，所以＝2， 所以＝2，解得tan α＝． (2)原式＝ ＝＝ ＝tan(β－α)＝＝＝． 10．已知α，β∈，且tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，求α＋β． [解]　因为tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根， 所以tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4， 所以tan(α＋β)＝＝＝． 因为两根之和小于0，两根之积大于0，故两根同时为负数． 又α，β∈， 所以α，β∈， 所以α＋β∈(－π，0)，故α＋β＝－． 11．(多选题)已知tan α＝lg(10a)，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值可以为(　　) A．　　 B．1 C． D． BD　[因为α＋β＝，所以tan(α＋β)＝＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 即lg(10a)＋lg ＝1－lg(10a)lg ， 即1＝1－lg(10a)lg， 所以lg(10a)lg＝0． lg(10a)＝0或lg＝0，得a＝或a＝1．] 12．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则B等于(　　) A．30°　　 B．45°　　 C．120°　　 D．60° D　[由公式变形得：tan A＋tan B ＝tan(A＋B)(1－tan Atan B) ＝tan(180°－C)(1－tan Atan B) ＝－tan C(1－tan Atan B) ＝－tan C＋tan Atan BtanC． 所以tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan A·tan Btan C＋tan C＝tan Atan Btan C＝3． 因为tan2B＝tan Atan C，