（练习）课时分层作业18 两角和与差的正弦-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

课时分层作业(十八)　两角和与差的正弦 一、选择题 1．计算sin 8°cos 38°－sin 82°sin 38°等于(　　) A．　 　　B．　 　　C．－　 　　D．－ C　[逆用两角差的正弦公式，得sin 8°cos 38°－sin 82°sin 38°＝sin 8°cos 38°－cos 8°sin 38°＝sin(8°－38°)＝sin(－30°)＝－．] 2．sincos＋cossin＝(　　) A． B．－ C． D．－ A　[逆用两角和的正弦公式，得sincos＋cossin＝sin＝sin＝．] 3．已知sin α＝，cos β＝，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于(　　) A． B． C．－ D．－ A　[因为α是第二象限角， 且sin α＝， 所以cos α＝－＝－． 又因为β是第四象限角， cos β＝， 所以sin β＝－＝－． sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝＝．] 4．在平面直角坐标系xOy中，角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，若点A、B的坐标分别为和，则sin(α＋β)的值为(　　) A． B．－ C．0 D．－ B　[由题意可得：sin α＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝－，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝－．] 5．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，则△ABC是(　　) A．锐角三角形　　 B．直角三角形 C．钝角三角形　　 D．等腰三角形 D　[因为A＝180°－(B＋C)，所以sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bcos C． 又sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 所以sin Bcos C－cos Bsin C＝sin(B－C)＝0． 则B＝C，故△ABC为等腰三角形．] 二、填空题 6．定义运算＝ad－bc．若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于______________． 　[由题意得，sin αcos β－cos αsin β＝， 所以sin(α－β)＝． 因为0＜β＜α＜，所以cos(α－β)＝＝． 又cos α＝，得sin α＝． cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝．所以β＝．] 7．计算 的值是________． 　[因为sin 68°＝sin 60°cos 8°＋cos 60°sin 8°，cos 68°＝cos 60°cos 8°－sin 60°sin 8°， 所以＝＝tan 60°＝．] 8．函数f(x) ＝sin＋cos的最小正周期为________，最大值为________． π　1　[f(x) ＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋cos 2x·cos －sin 2xsin ＝cos 2x，所以最小正周期T＝＝π，f(x) max＝1．] 三、解答题 9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值． [解]　因为sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝， 所以sin β＝－，又β是第三象限角， 所以cos β＝－＝－， 所以sin(β＋)＝sin βcos ＋cos βsin＝×＋×＝－． 10．已知M(1＋cos 2x,1)，N(1，sin 2x＋a)，若f(x) ＝·(O为坐标原点)． (1)求f(x) 的解析式； (2)当x∈时，f(x) 的最大值为4，求a的值． [解]　(1)f(x) ＝·＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a，所以f(x) ＝cos 2x＋sin 2x＋a＋1 ＝2sin＋a＋1， (2)因为x∈，所以2x＋∈． 所以当2x＋＝，即x＝时，f(x) 取得最大值为3＋a，所以3＋a＝4，所以a＝1． 11．(多选题)在△ABC中，cos A＝，sin B＝，则sin C＝(　　) A．－　 B．　 C．－　 D． BD　[由cos A＝， 所以sin A＝<sin B＝， 所以cos B＝－或cos B＝． 当cos B＝时， sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A ＝×＋×＝； 当cos B＝－时， sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A ＝×＋×＝．故选BD．] 12．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为(　　) A． B． C．或 D．