（练习）课时分层作业17 两角和与差的余弦-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

课时分层作业(十七)　两角和与差的余弦 一、选择题 1．cos 40°sin 80°＋sin 40°sin 10°的值等于(　　) A．－　　　B．－　　　C．　　　D． D　[由题意得，原式＝cos 40°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝cos (40°－10°)＝cos 30°＝．] 2．(多选题)下列各式化简正确的是(　　) A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60° B．cos 75°＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° C．sin(α＋45°)sin α＋cos(α＋45°)cos α＝cos 45° D．cos＝cos α－sin α ABC　[根据两角和与差的余弦公式可知选项A，B，C都正确，选项D，cos＝cos αcos －sin αsin ＝cos α－sin α．] 3．已知cos＝，0＜θ＜，则cos θ等于(　　) A． B． C． D． A　[因为θ∈，所以θ＋∈， 所以sin＝． 故cos θ＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝．] 4．若sin α＝，α∈，则cos的值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ C　[因为sin α＝，α∈， 所以cos α＝－＝－＝－， 所以cos＝cos cos α－sin sin α ＝×－×＝－ ．] 5．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan α·tan β的值为(　　) A．2 B． C．－2 D．－ B　[由cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝可得 则sin αsin β＝，cos αcos β＝． 故tan αtan β＝＝＝．] 二、填空题 6．计算cos(α＋120°) cos α－sin(α＋120°)sin(－α)＝________． －　[法一：cos(α＋120°)cos α－sin(α＋120°)sin(－α)＝cos(α＋120°)cos(－α)－sin(α＋120°)sin(－α) ＝cos [(α＋120°)＋(－α)]＝cos 120°＝－． 法二：cos(α＋120°) cos α－sin(α＋120°)sin(－α)＝cos(α＋120°) cos α＋sin(α＋120°)sin α ＝cos [(α＋120°)－α]＝cos 120°＝－．] 7．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，若a与b的夹角为，则cos(α－β)＝________． 　[因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)， 所以|a|＝|b|＝1， 又因为a与b的夹角为， 所以a·b＝|a||b|cos＝1×1×＝． 又a·b＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β) ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)， 所以cos(α－β)＝．] 8．如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点，如果点A的纵坐标为，点B的横坐标为，则cos(α－β)＝________． 　[由三角函数的定义可得，sin α＝，cos β＝，所以cos α＝，sin β＝． 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝．] 三、解答题 9．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈．求cos(2α－β)的值． [解]　因为α，β∈，所以α－β∈， 又sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<， 由题意得，sin α＝＝， cos(α－β)＝＝， cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝×－×＝． 10．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值． [解]　因为 <α－β<π，cos(α－β)＝－， 所以sin(α－β)＝． 因为<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－， 所以cos(α＋β)＝． 所以cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1． 因为<α－β<π，<α＋β<2π， 所以<2β<，2β＝π，所以β＝． 11．(多选题)满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　) A．α＝π，β＝π B．α＝，β＝ C．α＝，β＝ D．α＝，β＝ BD　[由条件cos αcos β＝－sin αsin β得cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos(α－β)＝， α＝，β＝满足题意，α＝，β＝也满足题意，故选BD．] 12．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么β＝(　　)