（练习）课时分层作业16 向量数量积的坐标运算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

课时分层作业(十六)　向量数量积的坐标运算 一、选择题 1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于(　　) A．1　　　B．　　　C．－　　　D．－1 A　[由向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，得a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1， 所以x＝1．] 2．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上投影的数量是(　　) A．－3　　　 B．－ C．3　　　 D． A　[依题意得，＝(－2，－1)， ＝(5,5)，·＝(－2，－1)·(5,5)＝－15， ||＝，因此向量在方向上的投影的数量是＝＝－3，故选A．] 3．已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a与b 的夹角的余弦值为　(　　) A． B．－ C． D．－ C　[因为a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)， 故可得b＝(－5,12)，设向量a与b的夹角为θ， 又|a|＝5，|b|＝13，则cos θ＝＝＝．] 4．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于(　　) A． B． C．2 D．10 B　[因为a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，所以 x＝2． 由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，所以 y＝－2． 所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)．所以a＋b＝(3，－1)， 所以|a＋b|＝＝．] 5．(多选题)已知向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，则下列说法正确的是(　　) A．a与b的夹角是直角 B．|a＋b|为2 C．a＋b与a－b的夹角是直角 D．a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量 CD　[由向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，得 a·b＝－24<0，所以a与b的夹角是钝角． a＋b＝(－1,1)，所以|a＋b|＝＝． (a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以a＋b与a－b的夹角是直角． a在b上投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝＝－，b在a上投影的数量为|b|cos〈a，b〉＝＝－．] 二、填空题 6．已知向量a＝(1，－)，b＝(－，1)，则a与b夹角的大小为________． 　[因为向量a＝(1，－)，b＝(－，1)， 所以a与b夹角θ满足 cos θ＝＝－＝－， 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝．] 7．已知向量a＝(1,0)，b＝(x,1)，若a·b＝2，则x＝______；|a＋b|＝________． 2　　[因为a·b＝2，所以x＝2． 因为a＋b＝(3,1)，所以|a＋b|＝．] 8．已知a＝(2,1)，b＝(1,2)，要使|a＋tb|最小，则实数t的值为__________． －　[因为a＋tb＝(2＋t,1＋2t)，所以|a＋tb| ＝＝． 所以当t＝－时，|a＋tb|有最小值．] 三、解答题 9．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋mb，若c与d的夹角为45°，求实数m的值． [解]　因为a＝(1,2)，b＝(－2，－3)， 所以c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)， d＝a＋mb＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)， 所以c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m． 又|c|＝1，|d|＝，c与d的夹角为45°， 所以2－3m＝1×cos 45°， 即＝(2－3m)， 等价于 解得m＝． 10．已知平面上三点A，B，C满足＝(2,4)，B＝(2－k,3)． (1)如果A，B，C三点不能构成三角形，求实数k满足的条件； (2)如果A，B，C三点构成直角三角形，求实数k的值． [解]　(1)因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即∥B，得4(2－k)＝6，解得k＝． (2)因为＝(2－k,3)，所以＝(k－2，－3)，所以 ＝＋C＝( k,1)． 由于A，B，C三点构成直角三角形，所以 当A是直角时，⊥，所以 ·＝0，得2k＋4＝0，解得 k＝－2； 当B是直角时，⊥B，所以 ·B＝0，得 k2－2k－3＝0，解得 k＝3或 k＝－1； 当C是直角时，⊥B，所以 ·B＝0,16－2k＝0，解得 k＝8． 综上所述，实数k的值为－2，－1,3,8． 11．(多选题)设向量a＝(k,2)，b＝(1，－1)，则下列叙述错误的是(　　) A．若k<－2，则a与b的夹角为钝角 B．|a|的最小值为2 C．与b共线的单位向量只有一个为 D．若|a|＝2|b|，则k＝2或－2 CD　[对于A选项，若a与b的夹角为钝角，则a·b<0且a与b不共线，则解得k<2且k≠－2，A选项中的说法正确； 对于B选项，|a|＝≥＝2，当且仅当k