（练习）课时分层作业15 向量数量积的运算律-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

课时分层作业(十五)　向量数量积的运算律 一、选择题 1．已知向量|a|＝2，|b|＝，且向量a与b的夹角为150°，则a·b的值为(　　) A．－　　　B．　　　C．－3　　　D．3 C　[向量|a|＝2，|b|＝，且向量a与b的夹角为150°， 则a·b＝|a||b|cos 150°＝2××＝－3．故选C．] 2．在△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，＝2，则·＝(　　) A．－　　　　 B．－　　　 C．　　　 D． C　[因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， 所以·＝·(－)＝×32－×22＋·＝＋×2×3cos ＝．] 3．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　) A．－ B．－ C． D． D　[由a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝25－6＝19， 又|a＋b|＝＝7， 所以cos〈a，a＋b〉＝＝＝．] 4．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么|a－4b|2＝(　　) A．2　 B．2　 C．6　 D．12 D　[因为|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12．] 5．(多选题)△ABC是边长为3的等边三角形，已知向量a，b满足＝3a，＝3a＋b，则下列结论中正确的有(　　) A．a为单位向量 B．b∥ C．a⊥b D．(6a＋b)⊥ ABD　[对于A选项，因为＝3a， 所以a＝，则|a|＝||＝1，A选项正确； 对于B选项，因为＝3a＋b＝＋b， 所以b＝－＝，所以b∥，B选项正确； 对于C选项，a·b＝·＝×32×cos ≠0， 所以a与b不垂直，C选项错误； 对于D选项，(6a＋b)·＝(＋)·(－)＝2－2＝0， 所以(6a＋b)⊥，D选项正确．] 二、填空题 6．已知向量⊥，||＝3，则·＝__________． 9　[因为⊥，所以·＝0， 所以·＝·(＋) ＝||2＋·＝|OA|2＝32＝9．] 7．如图，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝________． －　[由已知得||＝，||＝，则·(－)＝(＋)· ＝·＋·＝1×cos ＋×＝－．] 8．已知向量||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n(m, n∈R)，则＝________． 3　[因为||＝1，||＝，·＝0， 所以OA⊥OB，所以||＝2＝2||， 所以∠OBA＝30°， 又因为∠AOC＝30°，所以⊥， 故(m＋n)·(－)＝0， 从而－m2＋n2＝0，所以3n－m＝0， 即m＝3n，所以＝3．] 三、解答题 9．已知向量|a|＝1，|b|＝2． (1)若a与b的夹角为，求|a＋2b|； (2)若(2a－b)·(3a＋b)＝3，求a与b的夹角． [解]　(1)|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2 ＝1＋4×1×2×cos ＋4×4 ＝1＋4＋16＝21， 所以|a＋2b|＝． (2)因为(2a－b)·(3a＋b)＝3， 所以6a2－3a·b＋2a·b－b2＝3， 所以6a2－a·b－b2＝3， 所以6－1×2×cos〈a，b〉－4＝3， 所以cos〈a，b〉＝－． 因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝． 10．利用向量法证明直径对的圆周角为直角． 已知：如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点．求证：∠ACB＝90°． [证明]　设圆心为O，连接OC，则||＝||，＝(＋)， 所以||2＝||2，2＝(＋)2，得||2＝(＋)2， 即(－)2＝(＋)2，即2＋2－2·＝2＋2＋2·， 所以4·＝0，·＝0， 所以⊥， 即∠ACB＝90°． 11．设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a上投影的数量为(　　) A．－　　　 B．－ C． D． A　[因为单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，得 e1·e2＝1×1×cos ＝－，|a|＝＝＝， a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝－，因此b在a上投影的数量为＝＝－，故选A．] 12．(多选题)对任意的两个向量a，b，定义一种向量运算“*”：a*b＝(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，其中正确的是(　　) A．a*b＝b*a B．λ(a*b)＝(λa)*b(λ∈R) C．(a＋b)*c＝a*c＋b*c D．若e是单位向量，则|a*e|≤|a|＋1 AD　[当a，b共线时，a*b＝|a－b|＝|b－a|＝b*a，当a，b不共线时，a*b＝a·b＝b·a＝b*a，故A是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ(a*b)＝0，(λa)*b＝|0－b|≠0，故B是错误的