（练习）课时分层作业14 向量数量积的概念-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

课时分层作业(十四)　向量数量积的概念 一、选择题 1．设e1，e2是两个平行的单位向量，则下面的结果正确的是　(　　) A．e1·e2＝1　　 B．e1·e2＝－1 C．|e1·e2|＝1 D．|e1·e2|<1 C　[设e1与e2的夹角为θ，则e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝±1．所以|e1·e2|＝1．] 2．在△ABC中，·<0，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 C　[因为·＝||||cos A<0， 所以cos A<0．所以角A是钝角． 所以△ABC是钝角三角形．] 3．已知|b|＝3，a在b方向上的投影的数量是，则a·b为(　　) A．3　 B．　　　　 C．2　　　　 D． B　[a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝|b|·|a|cos〈a，b〉＝3×＝．] 4．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是　(　　) A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 A　 [因为＝，所以AB与DC平行且相等，所以四边形ABCD为平行四边形． 又·＝0，所以AC⊥BD，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，所以平行四边形ABCD为菱形．] 5．(多选题)给出下列判断，其中正确的是(　　) A．若a2＋b2＝0，则a＝b＝0 B．已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c| C．a，b共线⇔a·b＝|a||b| D．|a||b|<a·b AB　[由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故A正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，故B正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以C不正确；对于D应有|a||b|≥a·b，所以D不正确．故选AB．] 二、填空题 6．已知向量a·b＝15＝3|b|，则向量a在b 上投影的数量为______． 3　[因为a·b＝15＝3|b|，所以|b|＝5，则向量a在b上投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝＝3．] 7．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________． －25　[ 因为||2＝||2＋||2， 所以B＝90°，所以·＝0． 因为cos C＝，cos A＝， 所以·＝||·||cos(180°－C) ＝4×5×＝－16． ·＝||·||cos(180°－A) ＝5× 3×＝－9． 所以·＋·＋·＝－25．] 8．已知正方形ABCD的边长为2，则向量在上的投影的数量为________，在上的投影的数量为________． 0　－　[法一：因为正方形ABCD的边长为2，⊥，则向量A在A上的投影的数量为|A|cos 90°＝0，A在上的投影的数量为|A|cos 135°＝2×＝－． 法二：如图，正方形ABCD的边长为2，A⊥A，则向量A在A上的投影的数量为0，A在A上的投影的数量为，所以A在上的投影的数量为－．] 三、解答题 9．已知|a|＝2，b2＝3，在下列情况下分别求a·b． (1)a∥b； (2)a⊥b； (3)a与b的夹角为120°． [解]　因为|a|＝2，b2＝3，所以|b|＝． (1)当a∥b时， a·b＝|a||b|cos 0°＝2××1＝2或a·b＝|a||b|cos 180°＝2××(－1)＝－2． (2)当a⊥b时，a·b＝|a||b|cos 90°＝2××0＝0． (3)当a与b的夹角为120°时， a·b＝|a||b|cos 120°＝2××＝－． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是BC边的中点，求： (1)在方向上投影的数量； (2)在方向上投影的数量． [解]　连接AD，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°， 所以△ABC是等腰直角三角形． 又因为D是BC边的中点，所以AD⊥BC，∠ABD＝45°， 所以BD＝2． 延长AB到E(如图所示)，则与的夹角为∠DBE＝180°－45°＝135°． 因此， (1)在方向上投影的数量是 ||cos 135°＝4×＝－2． (2)在方向上投影的数量是 ||cos 135°＝2×＝－2． 11．如图，圆心为C的圆的半径为r，弦AB的长度为2，则 ·的值为(　　) A．r B．2r C．1 D．2 D　[如图，作AB的中点H，连接CH，则向量在方向上的投影的数量为AH＝||cos ∠CAB， 所以·＝||||cos ∠CAB＝||·||＝2．] 12．(多选题)对任意平面向量a，b，c，下列命题中的真命题是　(　　) A．若a·b＝b·c，则a＝c B．若a＝b，b＝c，则a＝c C．|a|－|b|<|a|＋|b| D．|a·b|≤|a||b| BD　[若a