（讲义）第8章 8.2 8.2.1 两角和与差的余弦-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

8.2　三角恒等变换 8.2.1　两角和与差的余弦 1．能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点) 2．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点) 3．能利用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点) 1．通过两角和与差的余弦公式的推导，培养学生逻辑推理的核心素养． 2．借助两角和与差的余弦公式的应用，培养学生数学运算的核心素养． 观察下表中的数据： cos (60°－30°) cos (60°＋30°) cos 60° cos 30° sin 60° sin 30° 0 cos (120° －60°) cos (120° ＋60°) cos 120° cos 60° sin 120° sin 60° －1 － 从中你能发现cos(α－β)、cos(α＋β)与cos α，cos β，sin α，sin β间的内在关系吗？ [提示]　cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β． 知识点　两角和与差的余弦公式 简记符号 公式 使用条件 Cα－β cos(α－β)＝cos αcos_β＋sin αsin β α，β∈R Cα＋β cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin αsin β 两角和与差的余弦公式的结构特征是什么？可用什么口诀记忆？ [提示]　可简单记为“余余正正，符号相反”，即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)cos(70°＋40°)＝cos 70°－cos 40°． (　　) (2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立． (　　) (3)对任意α，β∈R，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β都成立． (　　) (4)cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60°＝1． (　　) [提示]　(1)×．cos(70°＋40°)＝cos 110°≠cos 70°－cos 40°． (2)×．当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α－β)＝cos α－cos β．再如α＝0°，β＝60°时也成立． (3)√．结论为两角和的余弦公式． (4)×．cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60°＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．cos 20°＝(　　) A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10° B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10° C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30° D．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10° B　[cos 20°＝cos (30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°，故选B．] 3．化简cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β为(　　) A．sin(2α＋β)　　 B．cos(2α－β) C．cos α D．cos β C　[原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α．] 类型1　利用两角和与差的余弦公式化简、求值 【例1】　(1)cos 615°的值为(　　) A．　　 B． C． D． (2)化简下列各式： ①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； ②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°． (1)D　[cos 615°＝cos (720°－105°)＝cos 105°＝cos (45°＋60°) ＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60°＝．] (2)[解]　①原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)]＝cos 45°＝． ②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝． 1．在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体． 2．两角和与差的余弦公式在求值