（讲义）第8章 8.1 8.1.2 向量数量积的运算律-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

8.1.2　向量数量积的运算律 1．通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律．(难点) 2．能利用运算律进行向量数量积的运算．(重点、难点) 1．通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养学生数学抽象的核心素养． 2．利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算的核心素养． 没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 问题　向量数量积的运算律在解题过程中有怎样的作用？ [提示]　若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积． 知识点1　两个向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a． (2)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)． (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 1．“若a·b＝a·c，则b＝c”成立吗？为什么？ [提示]　不成立，如a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)(a·b)·c＝a·(b·c)． (　　) (2)(a·b)2＝a2·b2． (　　) (3)a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0． (　　) [提示]　(1)×．向量(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故不正确． (2)×．(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2b2cos2θ． (3)√．a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)·(a·b)＝0． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是(　　) A．0　 B．a　　　　C．b　　　　D．c B　[b·c＝|b||c|cos 45°＝1． 所以a·(b·c)＝a．] 知识点2　重要公式 平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 完全平方公式 (a±b)2＝a2±2a·b＋b2 2．根据实数的乘法公式，得到向量数量积的公式： (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__________； 向量数量积公式：(a＋b)(a－b)＝________． (2)完全平方公式：(a±b)2＝__________； 向量数量积公式：(a±b)2＝__________． [提示]　(1)a2－b2 ；a2－b2 (2)a2±2ab＋b2；a2±2a·b＋b2 3．已知平面向量m，n均为单位向量，若向量m，n的夹角为，则|2m＋3n|＝(　　) A．25 B．7 C．5 D． D　[因为|m|＝|n|＝1，且向量m，n的夹角为， 所以|2m＋3n|2＝4m2＋12m·n＋9n2＝13＋12cos ＝7， 所以|2m＋3n|＝．] 类型1　向量数量积的运算律的应用 【例1】　已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°，求： (1)e1·e2； (2)(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)； (3)(e1＋e2)2． [解]　(1)e1·e2＝|e1||e2|cos 60°＝． (2)由(1)可知e1·e2＝，|e1|＝|e2|＝1， 所以(2e1－e2)·(－3e1＋2e2) ＝－6e＋3e2·e1＋4e1·e2－2e ＝－6|e1|2＋3×＋4×－2|e2|2 ＝－6＋－2＝－． (3)(e1＋e2)2＝(e1＋e2)·(e1＋e2) ＝e＋e1·e2＋e2·e1＋e ＝e＋2e1·e2＋e＝1＋1＋1＝3． 向量的数量积在运算中的常用结论 (1)a2＝|a|2； (2)(xa＋yb)·(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中x，y，m，n∈R，类似于多项式的乘法法则； (3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； (4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c． 同时还要注意几何性质的应用，将向量适当转化，转化的目的是用上已知条件． 1．(1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4　　 　B．3　　 　C．2　　 　D．0 (2)已知向量|a＋b|＝|a－b|，且|a|＝|b|＝2，则|2a－b|＝(　　) A．2 B．2 C．2 D． (1)B　(2)C　[(1)a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3． (2)因为向量|a＋b|＝|a－b|，所以a·b＝0，又|a|＝|b|＝2， 所以|2a－b|＝＝2．] 类型2　向量的夹角与垂直问题 【例2】　(1)设向量a，b满足|a|＝|b