（讲义）第7章 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

类型1　三角函数的定义 高考对三角函数定义的考查主要是利用三角函数定义求三角函数值，利用三角函数线比较大小，判断三角函数的符号，利用三角函数线求定义域．既单独考查，也常与单位圆、实际问题、三角变换求值相结合考查．解决此类问题的关键是利用三角函数定义求出三角函数值，体现了直观想象核心素养． 1．已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值． (2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)．则sin α＝，cos α＝．已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便． 2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 【例1】　已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________． －8　[r＝＝，且sin θ＝－， 所以sin θ＝＝＝－，所以θ为第四象限角，解得y＝－8．] 类型2　同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用 牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．应用中，要注意掌握解题的技巧，体现了数学中的数学运算核心素养． 诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变．符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号． 【例2】　已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求： (1)＋； (2)m的值； (3)方程的两根及此时θ的值． [解]　由根与系数的关系得： sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝． (1)原式＝＋＝＋ ＝－＝sin θ＋cos θ＝． (2)由sin θ＋cos θ＝， 两边平方可得： 1＋2sin θcos θ＝， 1＋2×＝1＋，所以m＝． (3)由m＝可解方程： 2x2－(＋1)x＋＝0， 得两根和． 所以 或 因为θ∈(0,2π)，所以θ＝或． 类型3　三角函数的性质 重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧，体现了逻辑推理的核心素养． 【例3】　已知函数f(x) ＝2sin＋a＋1(其中a为常数)． (1)求f(x) 的单调区间； (2)若x∈时，f(x) 的最大值为4，求a的值； (3)求f(x) 取最大值时x的取值集合． [解]　(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x) 的单调增区间为(k∈Z)，单调减区间为(k∈Z)． (2)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤， 所以－≤sin≤1， 所以f(x) 的最大值为2＋a＋1＝4，所以a＝1． (3)当f(x) 取最大值时，2x＋＝＋2kπ， 所以x＝＋kπ，k∈Z， 所以当f(x) 取最大值时，x的取值集合是． 类型4　三角函数模型的应用 在日常生活中呈周期变化的现象，可利用三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋b描述其变化规律，并结合各参数的实际意义解决相关问题．这一问题充分体现了数学建模的数学核心素养． 【例4】　已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f (t)，下表是某日各时的浪高数据： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f (t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b． (1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ [解]　(1)由表中数据知周期T＝12， 所以ω＝＝＝， 由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5． 由t＝6，y＝0.5，得－A＋b＝0.5． 所以A＝0.5，b＝1，所以y＝cos t