（讲义）第7章 7.3 微专题1 三角函数的图像与性质-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

微专题1　三角函数的图像与性质 三角函数的图像与性质一直是高考考查的热点，重点考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性、图像变换及由图像求解析式等． 类型1　单调性 【例1】　 (1)函数f(x) ＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x) 的单调递减区间为(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z (2)已知f(x) ＝－8cos在区间上是单调函数，则实数a的最大值为________． (1)D　(2)π　[由题图知，函数f(x) 的最小正周期T＝×2＝2，所以ω＝π，又点可以视为余弦曲线与x轴正半轴的第一个交点，所以＋φ＝，解得φ＝，所以f(x) ＝cos． 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，解得2k－<x<2k＋，k∈Z，所以函数f(x) 的单调递减区间为，k∈Z． (2)由2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z，得函数f(x) 的单调递增区间为，k∈Z； 由2kπ＋π≤＋≤2kπ＋2π，k∈Z，得函数f(x) 的单调递减区间为，k∈Z． 令4kπ－≤≤4kπ＋，得≤k≤，没有满足条件的整数k．故∉，k∈Z． 令4kπ＋≤≤4kπ＋，得≤k≤，又k∈Z，所以k＝1．这说明函数y＝－8cos在区间上是单调递减的，故a的最大值为．] 类型2　对称性 【例2】　(1)函数y＝sin的图像的一条对称轴的方程是(　　) A．x＝－　　　 B．x＝－ C．x＝ D．x＝ (2)求y＝|cos x|图像的对称轴方程及对称中心． (1)A　[函数y＝sin X图像的对称轴方程为X＝kπ＋(k∈Z)．令X＝2x＋，即2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝－π(k∈Z)，∴y＝sin图像的对称轴方程为x＝－π(k∈Z)　①．当k＝1时，x＝－，即直线x＝－为函数图像的一条对称轴．而B，C，D中的x值代入①后，没有整数k与之对应．综上应选A．] (2)[解]　作出y＝|cos x|的大致图像(略)，通过观察易知y＝|cos x|图像的对称轴方程为x＝(k∈Z)，无对称中心． 【例3】　若函数f(x) ＝sin x＋acos x的图像关于直线x＝对称，则a＝________． 　[∵f(x) 的图像关于直线x＝对称， ∴f (0)＝f ， 即a＝sin ＋acos ， ∴a＝．] 本题采用特殊值法求解．事实上，我们有以下结论：若f(x) ＝sin x，且f (t＋x)＝f (t－x)对任意实数x恒成立，则t＝kπ＋(k∈Z)；若f(x) ＝cos x，且f (t＋x)＝f (t－x)对任意实数x恒成立，则t＝kπ(k∈Z)． 【例4】　已知函数f(x) ＝sin(ωx＋φ)(1<ω<3,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M 对称，则函数f(x) ＝sin(ωx＋φ)的解析式为________． [思路探究]　函数f(x) ＝sin(ωx＋φ)是偶函数，则函数y＝f(x) 的图像关于y轴对称，所以sin φ＝－1或sin φ＝1，这样就可以得到φ＝kπ＋(k∈Z)，由φ的范围可得到φ的值，由函数y＝f(x) 的图像关于点M对称可知f ＝0，结合ω的取值范围，从而得到ω的值． f(x)＝cosx　[∵函数f(x) ＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，∴sin φ＝－1或sin φ＝1，∴φ＝kπ＋(k∈Z)． ∵0≤φ≤π，∴φ＝，∴f(x) ＝sin＝cos ωx． ∵函数y＝f(x) 的图像关于点M 对称， ∴f ＝0，即cos ＝0，则＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝＋(k∈Z)．又1<ω<3，∴k＝1，ω＝， ∴f(x) ＝cos x．] 类型3　三角函数的图像变换 【例5】　(1)设ω>0，函数y＝sin＋2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则ω的最小值为(　　) A． B． C． D．3 (2)要得到函数y＝cos的图像，可把函数y＝sin的图像(　　) A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 (1)C　(2)D　[(1)函数y＝sin＋2的图像向右平移个单位后， 得到函数y＝sin＋2＝sin＋2的图像．∵两图像重合， ∴ωx＋＝ωx－＋＋2kπ，k∈Z，解得ω＝k， k∈Z．又ω>0，∴当k＝1时，ω取最小值，最小值为． (2)由于cos＝sin＝ sin＝sin． 故要得到函数y＝cos的图像，可将函数y＝sin的图像向左平移个单位．] 在函数图像的左右平移中，平移的单位是相对x而言的，在函数y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)中，ωx＋φ＝ω，所以由函数y＝Asin ωx的图像得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，平移的单位不是|φ|，而是，这点很容易出错． 类型4　由图像求解析式 【例6】　已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一