（讲义）第7章 7.3 7.3.4 正切函数的性质与图像-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

7.3.4　正切函数的性质与图像 1．能画出正切函数的图像． 2．会利用y＝tan x的性质确定与正切函数有关的函数性质．(难点) 3．会利用正切函数的单调性比较函数值大小．(难点、易错点) 4．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(重点) 1．通过正切函数图像与性质的学习，培养学生直观想象核心素养． 2．借助正切函数图像与性质的应用，提升学生直观想象和数学运算核心素养． 孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直线状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？ 问题　类比y＝sin x，y＝cos x的图像与性质． 1y＝tan x是周期函数吗？有最大小值吗？ 2正切函数的图像是连续的吗？ [提示]　1y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大值，也无最小值． 2正切函数的图像在定义域上不是连续的． 知识点1　正切函数及性质 1．正切函数的定义 对于任意一个角x，只要x≠＋kπ，k∈Z，就有唯一确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数． 2．正切函数的性质 定义域与值域 定义域为， 值域为 R 奇偶性 奇函数 周期 π 单调性 单调增区间(k∈Z) 零点 kπ，k∈Z 1．(1)正切函数在定义域上是单调递增函数吗？ (2)函数y＝Atan (ωx＋φ)的周期是多少？ [提示]　(1)不是．正切函数在每一个区间(k∈Z)上都是单调递增函数，但是不能说在定义域上是增函数． (2)T＝． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)正切函数既没有最大值也没有最小值． (　　) (2)正切函数的零点是(kπ，0)，k∈Z． (　　) (3)函数y＝tan 2x的周期是2π． (　　) [提示]　(1)√．正切函数的值域为R，既没有最大值也没有最小值． (2)×．正切函数的零点是x＝kπ，k∈Z． (3)×．函数y＝tan 2x的周期是． [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 2．y＝tan的定义域为________． 　[因为2x－≠kπ＋，k∈Z， 所以x≠＋π，k∈Z．] 3．函数y＝tan的单调增区间为________． ，k∈Z　[令kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z， 得kπ－π<x<kπ＋， 即y＝tan的单调增区间为，k∈Z．] 知识点2　正切函数的图像 (1)正切函数的图像 y＝tan x 的图像如图． (2)正切函数的图像叫做正切曲线． (3)正切函数的图像特征 正切曲线是由通过点(k∈Z)且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成． 2．函数y＝sin x，y＝cos x的图像均可利用“五点法”作出其图像简图，那么正切函数y＝tan x是否也有特殊点？你能利用其奇偶性及特殊点，作出函数y＝tan x，x∈上的图像吗？ [提示]　正切函数过点(0,0)，，，，先做出上的图像，然后将图像关于原点对称即得y＝tan x，x∈上的图像． 4．下列是函数f(x) ＝tan的对称中心的是(　　) A．　　 B． C．(0,0) D． D　[令2x－＝(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以f(x) 的对称中心为，k∈Z，当k＝1时，＋＝，故是f(x) 的一个对称中心．] 类型1　正切函数的定义域、值域问题 【例1】　(1)函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域是________． (2)函数y＝tan(sin x)的值域为________． (3)求函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈的值域． [思路探究]　(1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域． (2)利用正弦函数的有界性及正切函数图像求值域． (3)换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题． (1)　(2)[－tan 1，tan 1]　[(1)要使函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，则 即－1≤tan x<1． 在上满足上述不等式的x的取值范围是． 又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为． (2)因为－1≤sin x≤1，且[－1,1]⊆， 所以y＝tan x在[－1,1]上是增函数， 因此tan(－1)≤tan x≤tan 1， 即函数y＝tan(sin x)的值域为[－tan 1，tan 1]．] (3)[解]　令t＝tan x， 因为x∈，所以t＝tan x∈[－，)， 所以y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为t＝1，所以t＝1时，y取最大值6， t＝－时，y取最小值2－2， 所以函数y＝－tan2