（讲义）第7章 7.2 7.2.4 第1课时 诱导公式①②③④-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

7.2.4　诱导公式 第1课时　诱导公式①②③④ 1．掌握诱导公式①②③④，并会用公式求任意角的三角函数值．(重点) 2．会用诱导公式①②③④进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明．(重点、难点) 1．通过诱导公式①②③④的推导，培养学生的逻辑推理核心素养． 2．借助诱导公式的应用，培养学生的数学运算和逻辑推理核心素养． “南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的和谐之美．而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系．圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形． “南京眼”的桥身的完美对称　　辽宁“生命之环”的完美对称 问题　你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？ [提示]　π＋α的终边与α的终边关于原点对称；π－α的终边与α的终边关于y轴对称；－α的终边与α的终边关于x轴对称． 知识点1　诱导公式 sin(α＋k·2π)＝sin α(k∈Z)， cos(α＋k·2π)＝cos α(k∈Z)， tan(α＋k·2π)＝tan α(k∈Z)． 1．cos 390°＝________． 　[cos 390°＝cos(30°＋360°)＝cos 30°＝．] 知识点2　角的旋转对称 如图，已知角α的终边为OA，将射线OA逆时针旋转θ到OB，顺时针旋转θ到OC； 则射线OB是角α＋θ的终边，射线OC是角α－θ的终边，所以角α＋θ的终边和角α－θ的终边关于角α的终边所在的直线对称． 1．角的正负与旋转方向之间的关系是什么？ [提示]　将射线逆时针方向旋转得到正角，顺时针方向旋转得到负角． 知识点3　诱导公式 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α． 2．角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ [提示]　角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称． 2．cos－sin＝________． 　[cos－sin ＝cos π＋sin π＝cos＋sin ＝cos ＋sin ＝＋＝．] 知识点4　诱导公式 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α． 3．角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ [提示]　角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称． 知识点5　诱导公式 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α． 4．角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P4(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？ [提示]　角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称；P4与P也关于原点对称． 3．化简：＝________． 1　[＝ ＝＝＝1．] 类型1　给角求值问题 【例1】　(对接教材P30例题改编)求下列各三角函数式的值． (1)cos 210°； (2)sin π； (3)sin；(4)cos(－1 920°)． [解]　(1)cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－． (2)sin ＝sin＝sin π＝sin＝sin ＝． (3)sin＝－sin＝－sin ＝－sin＝sin ＝． (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－． 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“ 负化正” ：用公式②或③来转化． (2)“ 大化小” ：用公式①将角化为0°到360°间的角． (3)“ 小化锐” ：用公式③或④将大于90°的角转化为锐角． (4)“ 锐求值” ：得到锐角的三角函数后求值． 1．求下列各三角函数式的值： (1)sin 1 320°；　(2)cos；(3)tan(－945°)． [解]　(1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－． 法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°) ＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－． (2)法一：cos＝cos ＝cos ＝cos＝－cos ＝－． 法二