（讲义）第7章 7.2 7.2.4 第2课时 诱导公式⑤⑥⑦⑧-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

第2课时　诱导公式⑤⑥⑦⑧ 1．掌握诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧，能正确运用这些公式求任意角的三角函数值．(重点) 2．能运用诱导公式进行简单的三角函数的化简与恒等式的证明．(重点、难点) 1．通过诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧的推导，培养学生的逻辑推理核心素养． 2．通过诱导公式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养． 同学们听了老师“奇变偶不变，符号看限象”的记忆口诀后，更是摸不着头脑，老师随后做了解释，同学们脑洞大开，都拍手叫绝． 问题　(1)八组诱导公式左边的角能统一写成什么形式？ (2)你能举例说明“奇变偶不变，符号看象限”的含义吗？ [提示]　(1)八组诱导公式均可以写成±α(k∈Z)的形式． (2)cos(π＋α)＝cos＝－cos α，k＝2时函数名称不变、符号把α看作锐角时，π＋α为第三象限角，第三象限角的余弦为负，故得到cos(π＋α)＝－cos α． 知识点　诱导公式 1．诱导公式 sin＝cos α， cos＝sin α． (1)角－α与角α的终边有什么样的位置关系？ (2)点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是什么？ [提示]　(1)角－α与角α的终边关于y＝x对称． (2)点P1(a，b)关于y＝x对称的对称点坐标是P2(b，a)． 2．诱导公式 sin＝cos α， cos＝－sin α． 1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)sin(＋α)＝－cos α． (　　) (2)在△ABC中，sin ＝cos ． (　　) (3)sin＝±cos α． (　　) [提示]　(1)×．由诱导公式⑥知sin＝cos α． (2)√．因为＋＝，由诱导公式⑤可知 sin ＝cos ． (3)×．例如当k＝2时，sin＝sin(π－α)＝sin α≠±cos α． [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．已知sin 40°＝a，则cos 130°＝(　　) A．a　　　　　　 B．－a C． D．－ B　[cos 130°＝cos(90°＋40°)＝－sin 40°＝－a．] 3．诱导公式⑦ cos＝sin α， sin＝－cos α． 4．诱导公式⑧ cos＝－sin α， sin＝－cos α． 3．若sin α＝，则cos＝________． －　[cos＝cos＝ cos＝cos＝－sin α＝－．] 类型1　利用诱导公式求值 【例1】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　) A．　　　　 B． C．－ D．－ (2)若α∈，sin＝，则cos＝(　　) A．－ B． C．－ D． (3)已知sin＝，则cos的值为________． (1)B　(2)D　(3)　[(1)sin 239°tan 149° ＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31° ＝＝． (2)因为sin＝cos α＝，α∈， 所以sin α＝＝， 所以cos＝sin α＝． (3)cos＝cos ＝sin＝．] 诱导公式应用中需注意的问题 诱导公式的应用，就是化归思想的应用，求值过程就是由未知角的三角函数向已知角的三角函数的转化过程．解题时要密切注意角之间的关系，特别是互余、互补关系，为应用诱导公式创造条件． 提醒：常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等． 1．已知cos＝，求cossin的值． [解]　cossin＝cos·sin ＝－cos·sin＝－sin ＝－cos＝－． 类型2　利用诱导公式化简与证明 【例2】　(对接教材P32例8改编)(1)化简： ＋＝______． (2)求证：＝－tan α． (1)　[原式＝＋ ＝＋ ＝＋＝ ＝＝．] (2)[证明]　因为左边 ＝ ＝＝＝－＝－tan α＝右边， 所以原等式成立． 1．利用诱导公式化简的原则 (1)负化正、大化小、小化锐、锐求值． (2)对于k·±α，k∈Z的形式的角，记准：奇变偶不变，符号看象限． 2．利用诱导公式证明的方法 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推导右边或从右边推导左边，也可以左右归一，变更论证的方法．常用定义法、弦切互化、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 2．求证：＝． [证明]　因为左边＝ ＝＝ ＝＝＝． 右边＝＝． 所以左边＝右边，故原等式成立． 类型3　诱导公式的综合应用 【例3】　已知f(x) ＝． (1)化简f(x) ； (2)若x是第三象限角，且cos＝，求f(x) 的值； (3)求f ． [解]　(1)原式＝ ＝ ＝＝tan x． (2)因为cos＝－sin x＝， 所以sin