（练习）章末综合测评2-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

章末综合测评(二) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．复数·(1＋i)＝1－i，则z＝　(　　) A．1－i B．1＋i C．－i D．i D　[因为＝＝＝＝－i，所以z＝i．] 2．设z＝，则|z|＝(　　) A．2 B． C． D．1 C　[因为z＝＝＝， 所以|z|＝＝．故选C．] 3．(2021·新高考Ⅱ卷)在复平面内，复数对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　[＝＝＝＋i，对应的点坐标为，位于第一象限．选A．] 4．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则a2－b2＝0,2ab＝2，解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故a＝1，b＝1是(a＋bi)2＝2i的充分不必要条件，故选A．] 5．已知z1，z2为复数，若z1在复平面内对应的点的坐标为(2,3)，且z1·z2＝1＋i，则z2的虚部为(　　) A．－ B． C．－ D． C　[由题意z1＝2＋3i，由z1·z2＝1＋i得z2＝＝＝－i， 所以复数z2的虚部为－．故选C．] 6．复数2＋i与复数在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原点，则∠AOB等于　(　　) A． B． C． D． B　[因为＝＝－， 所以它在复平面上的对应点为B， 而复数2＋i在复平面上的对应点是A(2,1)， 显然AO＝，BO＝，AB＝． 由余弦定理得cos ∠AOB＝＝，所以∠AOB＝．] 7．已知z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，则x＋y的最大值为(　　) A．1＋ B．2 C．1 D． B　[因为z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，所以x2＋y2＝1．设x＝cos θ，y＝sin θ，θ∈R，所以x＋y＝cos θ＋sin θ＝2sin，所以x＋y的最大值是2，故选B．] 8．若复数z满足|z＋3－4i|＝2，则z·的最大值为(　　) A．9 B．81 C．7 D．49 D　[由|z＋3－4i|＝2，得复数z在复平面内对应点的集合图形如图， 所以|z|max＝7，则z·＝|z|2的最大值为49．故选D．] 二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．下面是关于复数z＝的四个命题，其中的真命题为(　　) A．|z|＝2 B．z2＝2i C．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1 BD　[因为z＝＝＝－1－i，所以|z|＝，A错误； z2＝2i，B正确； z的共轭复数为－1＋i，C错误； z的虚部为－1，D正确． 故选BD．] 10．已知z是复数，则下列叙述错误的是(　　) A．z－为纯虚数 B．z2n≥0(n∈Z) C．对于任意的z∈C，|z|＝|| D．满足＝－z的z仅有一个 ABD　[当z＝0时，z－＝0∈R，所以选项A错误；当z＝i，n＝1时，z2n＝i2＝－1＜0，所以选项B错误；由复数的模与共轭复数的定义，知|z|＝||，所以选项C正确；当z＝i或－i时均满足＝－z，故选项D错误．] 11．设z是复数，则下列命题中正确的命题是(　　) A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2<0，则z是虚数 C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2<0 ABD　[设z＝a＋bi(a，b∈R)， 选项A，若z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确． 选项B，若z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确． 选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi， 由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误． 选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．] 12．对任意复数ω1，ω2，定义ω1]，其中是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3，下列命题为真命题的是(　　) AB　[对于A，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)＝z1＋z2＝(z1])＝z1＋z1＝(z1])＝z1，而z1])＝z1z3，则C为假命题；对于D，z1]，而z2]，则D为假命题．故选AB．] 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝