（练习）课时分层作业12 棱锥与棱台-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时分层作业(十二) 一、选择题 1．(多选题)如果一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥可能是　(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 ABC　[由题意可知，每个侧面均为等边三角形，因为每个侧面的顶角为60°，故三棱锥、四棱锥、五棱锥都有可能．若是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此这个棱锥一定不是六棱锥．] 2．由五个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是(　　) A．三棱柱　B．三棱台　C．三棱锥　D．四棱锥 B　[该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形(底面)，棱柱最多有两个面是梯形(底面)，所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台．三个梯形是棱台的侧面，另两个三角形是底面，所以这个棱台是三棱台．] 3．正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积等于(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 A　[如图，在三棱锥S­ABC中，AB＝a，SO＝a，于是OD＝·AB·sin 60°＝a，从而SD＝＝，故三棱锥的侧面积为S＝3××a×＝a2．] 4．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是　(　　) 注：一丈＝10尺 A．9尺 B．20尺 C．21尺 D．30尺 A　[如图所示，正四棱锥P­ABCD的下底边长为二丈，即AB＝20尺，高三丈，即PO＝30尺；截去一段后，得正四棱台ABCD­A′B′C′D′，且上底边长为A′B′＝6尺，所以＝，解得OO′＝21，所以该正四棱台的高是21尺，截去的正四棱锥的高是9尺．] 5．若正三棱锥的斜高是高的倍，则棱锥的侧面积是底面积的(　　) A．倍 B．2倍 C．倍 D．3倍 B　[设正三棱锥的高为h，底面正三角形的边长为a，则斜高为h，由条件知h2＋＝，所以h＝，所以S侧＝c·h′＝×3a××＝a2． S底＝a2，所以S侧＝2S底．] 二、填空题 6．如图，已知四边形ABCD是一个正方形，E，F分别是边AB和BC的中点，沿折痕DE，EF，FD折起得到一个空间几何体，则这个空间几何体是 (只填几何体的名称)． 三棱锥　[折起后是一个三棱锥(如图所示)． ] 7．如图所示，关于该几何体的说法正确的序号为 ． (1)这是一个六面体； (2)这是一个四棱台； (3)这是一个四棱柱； (4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到； (5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到． (1)(3)(4)(5)　[(1)正确，因为该几何体有六个面，所以它是一个六面体． (2)错误，因为该几何体侧棱的延长线不能交于一点，所以它不是一个棱台． (3)正确，如果将该几何体的前后两个面作为底面，则它可以看作是一个四棱柱． (4)、(5)都正确，如图所示． ] 8．侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积为 ． a2　[底面边长为a，则斜高为， 故S侧＝3××a×a＝a2． 而S底＝a2，故S表＝a2．] 三、解答题 9．试从正方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来． (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥； (2)四个面都是等边三角形的三棱锥； (3)三棱柱． [解]　(1)如图所示，三棱锥A1­AB1D1(答案不唯一)． (2)如图所示，三棱锥B1­ACD1(答案不唯一)． (3)如图所示，三棱柱A1B1D1­ABD(答案不唯一)． 10．如图，正四棱台AC′的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高． [解]　如图，设棱台两底面的中心分别是O′和O，B′C′，BC的中点分别是E′，E．连接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形． 在正方形ABCD中，BC＝16 cm， 则OB＝8 cm，OE＝8 cm； 在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4 cm， 则O′B′＝2 cm，O′E′＝2 cm． 在直角梯形O′OBB′中， BB′＝ ＝＝19(cm)． 在直角梯形O′OEE′中， EE′＝＝ ＝5(cm)． 即这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm． 11．(多选题)对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，下列说法正确的是(　　) A．可能是棱锥 B．可能是棱台 C．一定不