（练习）课时分层作业11 多面体与棱柱-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时分层作业(十一) 一、选择题 1．在棱柱中，(　　) A．只有两个面平行 B．所有的棱都平行 C．所有的面都是平行四边形 D．两底面平行，且各侧棱也互相平行 D　[对于A，如果是长方体，不止有两个面平行，故错误；对于B，如果是长方体，不可能所有的棱都平行，只是所有的侧棱都平行，故错误；对于C，如果是底面是梯形的棱柱，不是所有的面都是平行四边形，故错误；对于D，根据棱柱的定义知其正确．] 2．如图所示是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原)，则这个多面体的顶点数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 B　[还原几何体，如图所示． 由图观察知，该几何体有7个顶点．] 3．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(　　) A．6a2 B．12a2 C．18a2 D．24a2 B　[原正方体的表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，表面积为6×＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，所以增加的表面积为S2－S1＝12a2．] 4．给出下列命题： ①正四棱柱是正多面体； ②正四棱柱是简单多面体； ③简单多面体是凸多面体； ④以正四面体各面的中心为顶点的四面体仍然是正四面体． 其中正确的命题个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[①正四棱柱是正多面体，是错误的．因为正四棱柱的底面是正方形，侧棱长不一定等于正方形的边长；②正四棱柱是简单多面体，是正确的，符合简单多面体的定义；③简单多面体是凸多面体，是错误的，凸多面体是简单多面体，简单多面体并不都是凸多面体；④以正四面体各面的中心为顶点的四面体仍然是正四面体，是正确的．故选B．] 5．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为(　　) A．4 B． C．2 D．4 B　[设长方体的三条棱的长分别为x，y，z， 则可得体对角线的长为＝＝＝．] 二、填空题 6．如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1的长、宽、高分别为2,2,1，则长方体的表面积为 ，面对角线有 条，体对角线有 条． 16　12　4　[由表面积的定义，可得长方体的表面积为4×1×2＋2×2×2＝16，面对角线有2×6＝12(条)，体对角线有4条．] 7．棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是 ． 　[如图，截面与平面ABB1A1的交线MN是三角形AA1B的中位线， 所以截面是梯形CD1MN， 又MN＝，CD1＝2，CN＝，MD1＝， 故梯形的高为＝， 则截面的面积为×(＋2)×＝．] 8．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题： ①点H与点C重合； ②点D与点M、点R重合； ③点B与点Q重合； ④点A与点S重合． 其中正确命题的序号是 ． ②④　[将其还原成正方体，如图． ] 三、解答题 9．现有两个完全相同的长方体，它们的长、宽、高分别是5 cm,4 cm,3 cm，现将它们组合成一个新的长方体，这个新长方体的体对角线的长是多少？ [解]　将两个完全相同的长方体组合成新长方体，其情形有以下几种：将面积为5×3＝15(cm2)的面重叠到一起，将面积为5×4＝20(cm2)的面重叠到一起，将面积为4×3＝12(cm2)的面重叠到一起． 三种情形下的体对角线分别为：l1＝＝7(cm)，l2＝＝(cm)，l3＝＝5(cm)． 10．如图所示，在长方体A′B′C′D′­ABCD中，AB＝3 cm，BC＝2 cm，BB′＝1 cm，把长方体侧面展开，求BD′的最短距离． [解]　如图①得BD′＝＝，由图②得BD′＝＝3，由图③得BD′＝＝2， 所以(BD′)min＝3． 11．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有(　　) A．20 B．15 C．12 D．10 D　[如图，在五棱柱ABCDE­A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)． ] 12．(多选题)如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的四面体)的展开图的是　(　　) A　　　 B　　　　C　　　 　D CD　[可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现A，B可折成正四面体，C，D不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．] 13．一个正四棱柱的体对角线的长是9 cm，全面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为