（练习）课时分层作业3 正弦定理与余弦定理的应用 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时分层作业(三) 一、选择题 1．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C之间的距离为(　　) A．2 n mile B．3 n mile C．5 n mile D．6 n mile C　[在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°， 所以∠C＝45°． 因为＝， 所以BC＝＝＝5(n mile)．] 2．(多选题)某人向正东方向走x km后向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值是(　　) A． B．2 C．3 D．3 AB　[如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠B＝30°．由余弦定理，得()2＝x2＋32－2×3×x×，所以x2－3x＋6＝0，解得x＝或x＝2．] 3．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1 km，CD＝3 km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A，C之间的距离为(　　) A．2 km B． km C． km D．3 km C　[AB＝1，CD＝3，∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠BED＝120°， 所以BE＝＝＝，DE＝＝＝． 在△BED中，由余弦定理得BD2＝BE2＋DE2－2·BE·DE·cos ∠BED＝3＋3－2×××＝9，所以BD＝3，所以AC＝＝＝，即两山顶A，C之间的距离为 km．] 4．如图所示，为测一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度h为(　　) A．(30＋30)m B．(30＋15)m C．(15＋30)m D．(15＋15)m A　[因为∠BAP＋∠APB＝45°，所以∠APB＝45°－30°＝15°． 在△APB中，由正弦定理，得＝，即＝， 所以PB＝＝＝30(＋)(m)． 由题图可得h＝PB·sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m)．故选A．] 5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为(　　) A．200 m B．300 m C．400 m D．100 m B　[如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600(m)，BC＝DC＝200(m)． 在△BCD中，由余弦定理可得 cos 2θ＝＝， 因为0°＜2θ＜90°，所以2θ＝30°，4θ＝60°． 在Rt△ABC中， AB＝BC·sin 4θ＝200×＝300(m)，故选B．] 二、填空题 6．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C．测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为 m． 50　[由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得＝， 所以AB＝＝＝50(m)．] 7．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A－C－B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10 km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走 ．(结果精确到0.1 km)(参考数据：≈1.41，≈1.73) 3.4 km　[过点C作CD⊥AB，垂足为D． 在Rt△CAD中，∠A＝30°，AC＝10 km， CD＝AC·sin 30°＝5(km)，AD＝AC·cos 30°＝5(km)． 在Rt△BCD中，∠B＝45°，BD＝CD＝5(km)， BC＝＝5(km)．AB＝AD＋BD＝(5＋5)(km)，AC＋BC－AB＝10＋5－(5＋5)＝5＋5－5≈5＋5×1.41－5×1.73＝3.4(km)．] 8．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A处和最后一个座位B处测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A，B的距离为10米，则AN＝ 米；旗杆的高度为 米． 20　30　[依题意可知∠NBA＝45°，∠BAN＝180°－60°－15°＝105°，所以∠BNA＝180°－45°－105°＝30°．由正弦定理可知＝，所以AN＝·sin∠NBA＝20米． 所以在Rt△AMN中，MN＝ANsin∠NAM＝20×＝30米，所以旗杆的高度为30米．] 三、解答题 9．如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进 km到达D处，看到