（练习）课时分层作业1 正弦定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

课时分层作业(一) 一、选择题 1．(多选题)以下关于正弦定理的叙述或变形正确的是(　　) A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B都成立 D．在△ABC中，＝ ACD　[由正弦定理知A，C，D正确，而sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，所以a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误．] 2．在△ABC中，a＝5，c＝10，A＝30°，则B＝(　　) A．105°　 B．15°　 C．105°或15°　 D．45°或135° C　[由a＜c，得A＜C，又由sin C＝＝，得C＝45°或135°，所以B＝105°或15°．] 3．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B　[由题意有＝b＝，则sin B＝1，即B为直角，故△ABC是直角三角形．] 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，B＝，tan A＝，则a的值是(　　) A．10 B．2 C． D． B　[由已知tan A＝＝，又sin2A＋cos2A＝1，且A为锐角得sin A＝， 由正弦定理＝得，a＝·sin A＝×＝2．] 5．在△ABC中，已知(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于(　　) A．3∶5∶7 　　　 B．7∶5∶3 C．6∶5∶4 　　　 D．4∶5∶6 A　[因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝4∶5∶6，不妨设且k≠0， 则a＝k，b＝k，c＝k，所以a∶b∶c＝3∶5∶7，即sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7．] 二、填空题 6．在△ABC中，AB＝，A＝45°，B＝60°，则BC＝________． 3－　[利用正弦定理＝， 而C＝180°－(A＋B)＝75°， 故BC＝＝＝3－．] 7．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，则a＝__________． 12(3－)　[因为＝， 所以＝， 所以b＝a，① 又因为a＋b＝12，② 由①②可知a＝12(3－)．] 8．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边．若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝2，则c＝________，△ABC的面积为________． 2　＋1　[C＝180°－105°－45°＝30°．根据正弦定理＝，可知＝，解得c＝2．故△ABC的面积为S＝bcsin A＝×2×2×sin 105°＝2×＝＋1．] 三、解答题 9．在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状． [解]　法一：因为acos ＝bcos， 所以asin A＝bsin B． 由正弦定理，得a·＝b·， 所以a2＝b2，所以a＝b， 所以△ABC为等腰三角形． 法二：因为acos＝bcos， 所以asin A＝bsin B． 由正弦定理，得2Rsin2A＝2Rsin2B， 即sin A＝sin B， 所以A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去)． 故△ABC为等腰三角形． 10．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答． (1)a＝10，b＝20，A＝80°； (2)a＝2，b＝6，A＝30°． [解]　(1)a＝10，b＝20，a＜b， A＝80°＜90°，由＝得， sin B＝＝2sin 80°＞2sin 30°＝1，所以本题无解． (2)a＝2，b＝6，a＜b，A＝30°＜90°， 因为bsin A＝6sin 30°＝3，a＞bsin A， 所以bsin A＜a＜b，所以本题有两解． 由正弦定理得 sin B＝＝＝， 又因为0°<B<180°，所以B＝60°或B＝120°． 当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4； 当B＝120°时，C＝30°， c＝＝＝2． 所以当B＝60°时，C＝90°，c＝4； 当B＝120°时，C＝30°，c＝2． 11．(多选题)已知两边和其中一边的对角，则△ABC无解的是(　　) A．a＝7，b＝8，A＝105°　 B．b＝40，c＝20，C＝60° C．b＝10，c＝5，C＝60° D．a＝2，b＝2，B＝30° AB　[A中，由a＜b，A＝105°，可得B＞105°，与三角形的内角和为180°矛盾，故三角形无解；B中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝＞1，所以B不存在，故三角形无解；C中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝，又b＜c，所以B＝45°，所以A＝180°－(B＋C)＝75°，故三角形有唯一解；D中，由正弦定理＝，得sin