（讲义）第11章 11.1 11.1.5 旋转体-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

11.1.5　旋转体 1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．(重点) 2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点) 3．能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体．(难点) 4．会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题．(难点) 1．通过圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征的学习，培养直观想象的数学核心素养． 2．借助旋转体的轴截面的学习，提升数学运算的数学核心素养． 从我们常见的一些物体中可以抽象出圆柱、圆锥、圆台和球． 思考：你能总结出形成圆柱、圆锥、圆台和球的方式吗？ 　 知识点1　圆柱、圆锥、圆台的有关概念 名称 定义 图示 有关概念 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 轴：旋转轴　 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 轴截面：通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面． 圆锥 以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 圆台 以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 旋转体 圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线． (　　) (2)圆台有无数条母线，它们相等，延长后相交于一点． (　　) (3) 用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． (　　) (4)圆台的高就是相应母线的长．　 (　　) [提示]　(1)×．圆柱的母线与轴是平行的． (2) √．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分是圆台，由此可知此说法正确． (3) ×．用与底面平行的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台． (4)×．圆台的高是指两个底面之间的距离． [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 知识点2　旋转体的侧面积与表面积 (1)旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积)． (2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 几何体 侧面展开图 表面积公式 圆柱 S圆柱＝2πr(r＋l)， r为底面半径， l为母线长 圆锥 S圆锥＝πr(r＋l)，r为底面半径， l为母线长 圆台 S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)， r′为上底面半径， r为下底面半径， l为母线长 2．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为 ． 2∶1　[因为圆柱的轴截面是边长为a的正方形，故圆柱的底面半径R＝a，母线长l′＝a，故圆柱的表面积S＝2πR(R＋l′)＝a2π，因为圆锥的轴截面是边长为a的正三角形，故圆锥的底面半径r＝a， 母线长l＝a，故圆锥的表面积S＝πr(r＋l)＝a2π，故它们的表面积之比为2∶1．] 知识点3　球 1．球的结构特征 球面及球的定义　 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 图示及相关概念 球心：形成球面的半圆的圆心半径：连接球面上一点和球心的线段直径：连接球面上两点且通过球心的线段大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆 2．球的表面积S＝4πR2(R为球的半径)． 3．有下列说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球的直径是球面上任意两点间的连线； ③用一个平面截一个球，得到的是一个圆． 其中正确说法的序号是 ． ①　[利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．] 类型1　旋转体的结构特征 【例1】　(多选题)下列命题中正确的是(　　) A．圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 [思路探究]　依据旋转体及其相关概念逐项判断． AC　[A正确．B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．C正确．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选AC．] 判断旋转体形状的步骤 (1)明确旋转轴． (2)确定平面图形中各边(通常是线段)与旋转轴的位置关系． (3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定