（讲义）第11章 11.1 11.1.4 棱锥与棱台-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

11.1.4　棱锥与棱台 1．了解棱锥、棱台的定义和结构特征．(重点) 2．掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质．(难点) 3．知道棱锥、棱台的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题．(重点、难点) 1．通过棱锥、棱台的定义及结构特征的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助棱锥、棱台中的有关计算问题，提升数学运算的核心素养． 我们见到的很多建筑物呈棱锥形状． 思考：观察棱锥的结构，你能给出一个几何体是棱锥的充要条件吗？ 知识点1　棱锥的有关概念 1．棱锥 定义 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥 图及相关概念 底面：是多边形的那个面 侧面：有公共顶点的各三角形 顶点：各侧面的公共顶点 侧棱：相邻两侧面的公共边 高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度) 侧面积：所有侧面的面积之和 棱锥 的分类 依据底面的形状分类：三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 2．正棱锥及有关概念 (1)正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥． (2)侧面性质：正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形． (3)正棱锥的斜高：侧面等腰三角形底边上的高． 1．(1)在三棱锥A­BCD中，可以当作棱锥底面的三角形有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)下面描述中，不是棱锥的结构特征的为(　　) A．三棱锥的四个面是三角形 B．棱锥都是有两个面互相平行的多边形 C．棱锥的侧面都是三角形 D．棱锥的侧棱相交于一点 (1)D　(2)B　[(1)每个面都可作为底面，有4个． (2)根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形，故B错．] 知识点2　棱台的有关概念 1．棱台 定义 一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台 图及相关概念 下底面：原棱锥的底面 上底面：截面 侧面：其余各面 侧棱：相邻两侧面的公共边 高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度) 侧面积：所有侧面的面积之和 棱台的分类 依据底面的形状分类：三棱台、四棱台、五棱台…… 2．正棱台及有关概念 (1)正棱台：由正棱锥截得的棱台称为正棱台． (2)正棱台的高：上下底面中心的连线． (3)侧面性质：正棱台的侧面都全等，而且都是等腰梯形． (4)正棱台的斜高：侧面等腰梯形的高． 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分． (　　) (2)用一平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台． (　　) (3)有两个面平行，且其余各面均为梯形的几何体一定是棱台． (　　) [提示]　(1)√．依据棱台的定义可知：由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分是棱台． (2)×．只有用一平行于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，才能一个是棱锥，一个是棱台． (3)×．未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，如图，用一个平行于楔形几何体底面的平面去截楔形几何体，截面与底面之间的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台． [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 类型1　棱锥及其有关概念 【例1】　下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D A　[判断一个几何体是否是棱锥，关键是看它是否满足以下条件：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，且是有一个公共顶点的三角形．故A不是棱锥；B是四棱锥；C、D是五棱锥．] 棱锥有哪三个特征？ (1)有一个面是多边形． (2)其余各面是三角形． (3)这些三角形有一个公共顶点． 1．有下列几个命题： (1)底面是正多边形的棱锥，一定是正棱锥；(2)所有侧棱相等的棱锥一定是正棱锥；(3)正棱锥的棱都相等；(4)侧棱长相等，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥，一定是正棱锥．其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[由正棱锥的定义可知：(1)缺少“各侧面全等”这个条件，故不能得到正棱锥，所以(1)是假命题；侧棱都相等时，底面可以不是正多边形，比如一个三棱锥，侧棱都相等，但侧棱的夹角不相等，因此底面边长不相等，不是正三棱锥，所以(2)是假命题；棱锥的棱包括侧棱和底棱，正棱锥的侧棱都相等，底棱也相等，但侧棱和底棱可能不相等，所以(3)是假命题；(4)符合正棱锥的定义，所以(4)是真命题．] 类型2　棱台的结构特征 【例2】　下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是 ． (1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成