（讲义）第11章 11.1 11.1.3 多面体与棱柱-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

11.1.3　多面体与棱柱 1．了解多面体的定义及其分类．(重点) 2．理解棱柱的定义和结构特征．(重点) 3．了解多面体表面积的概念，知道棱柱表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．(难点) 1．通过多面体的定义与分类学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助棱柱结构特征的学习，培养直观想象的数学核心素养． 日常生活中的很多物体(如各式各样的包装盒)都可以抽象成多面体． 思考：(1)你能总结出一个几何体是多面体的充要条件吗？ (2)你能对常见几何体进行合理分类吗？ 知识点1　多面体及有关概念 1．定义 由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体． 2．相关概念(如图所示) (1)多面体的面、棱与顶点 围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点． (2)多面体的面对角线与体对角线 一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线．如上图所示的多面体中，AC是一条面对角线，而BD′是一条体对角线． (3)多面体的截面与表面积 一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，称为这个几何体的一个截面，如上图中多面体的一个截面ACE． 多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积)． 3．凸多面体 把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为凸多面体． 1．长方体、正方体是多面体吗？ [提示]　是．长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义． 2最简单的多面体由几个面所围成？ [提示]　4个． 4．正多面体 各个面都是全等的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体． [拓展] 已知正多面体顶点数V、面数F、棱数E之间满足关系： V＋F－E＝2． 1．下列实物不能近似看成多面体的是(　　) A．钻石 B．粉笔盒 C．篮球 D．金字塔 C　[钻石、粉笔盒、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．篮球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．] 知识点2　棱柱的有关概念及分类 1．棱柱 (1)定义 如果一个多面体有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱． (2)图示及相关概念棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时，分别称为上底面、下底面)，其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱． (3)棱柱的表示 棱柱可以用底面上的顶点来表示，也可用表示它的体对角线来表示，如上图所示的棱柱可表示为棱柱ABCDEF­A′B′C′D′E′F′，此棱柱也可表示为棱柱AD′． (4)棱柱的高与侧面积 过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积． 2．棱柱的分类 特别地，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱． 3．平行六面体与直平行六面体 底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体． 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱柱可以看作由平面图形平移得到．　 (　　) (2)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形．　 (　　) (3)棱柱的两底面是全等的正多边形．　 (　　) (4)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱．　 (　　) [提示]　(1)√．棱柱可以看作由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体． (2)×．棱柱的侧面都是平行四边形，底面也有可能是平行四边形． (3)×．棱柱两底面全等，但不一定是正多边形． (4)×．有一个侧面是矩形的棱柱不能保证侧棱与底面垂直． [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 类型1　与多面体有关的概念 【例1】　如图所示为长方体ABCD­A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱． [解]　截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义． 它是三棱柱BEB′­CFC′， 其中△BEB′和△CFC′是底面， EF，B′C′，BC是侧棱． 截面BCFE左侧部分也是棱柱， 它是四棱柱ABEA′­DCFD′， 其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面， A′D′，EF，BC，AD为侧棱． 多面体的识别方法 认识、判断一个多面体的结构特征，主要从侧面、侧棱、底面等角度描述，因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清其特征． 1．如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1，过BC和AD分别作一个