（讲义）第11章 11.1 11.1.2 构成空间几何体的基本元素-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

11.1.2　构成空间几何体的基本元素 1．以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系．(重点) 2．会用数学符号表示空间点、线、面以及它们之间的位置关系．(重点) 3．理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法．(难点) 1．通过认识构成几何体的基本元素的学习，体现了数学抽象的核心素养． 2．借助空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，培养直观想象的核心素养． 国家体育场的主体建筑“鸟巢”主要由巨大的门式钢架组成，共有24根桁架柱，其结构科学简单，设计新颖独特，为国际上极富特色的巨型建筑．与“鸟巢”相呼应的是“水立方”——国家游泳中心．国家游泳中心也是北京奥运会标志性建筑，它以冰晶状的亮丽身姿，装点着奥林匹克公园．你能说出它们作为一个空间几何体是由哪些基本元素构成的吗？ 知识点1　空间中的点、线、面 1．用运动的观点理解空间基本图形之间的关系 (1) (2) (3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 2．构成空间几何体的基本元素 点、线、面是构成空间几何体的基本元素． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分． (　　) (2)直线的移动只能形成平面． (　　) (3)平静的太平洋就是一个平面． (　　) [提示]　(1)正确． (2)直线移动可能形成曲面，故错误． (3)平面是没有大小的，故错误． [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 知识点2　空间中点与直线、直线与直线的位置关系 1．空间中点与直线的关系 点A在直线l上，记作A∈l；点A不在直线l上，记作Al． 2．直线与直线的位置关系 (1)直线a与直线b平行，记作a∥b； (2)直线a与直线b相交于点A，记作a∩b＝A； (3)直线a与直线b异面． 3．异面直线的定义 空间中的两条直线，既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面． (1)为何点与直线、平面的关系用“∈”或“”表示？ (2)如何从公共点个数的角度对空间两条直线分类？ (3)如何以是否共面的角度对空间两条直线分类？ [提示]　(1)因为直线与平面都看作是点构成的集合，而点是元素，因此点与直线、平面的关系就是元素与集合间的关系，所以用“∈”或“”表示． (2)两条直线有一个公共点，则两条直线相交；两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面． (3)若两条直线共面，则这两条直线相交或平行；若两条直线不共面，则这两条直线是异面直线． 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)没有公共点的两条直线是平行直线． (　　) (2)互相垂直的两条直线是相交直线． (　　) (3)既不平行又不相交的两条直线是异面直线． (　　) (4)不在同一平面内的两条直线是异面直线． (　　) [提示]　异面直线既不平行，也不相交，故(1)错误；互相垂直不一定相交，因为有异面垂直，故(2)错误；(3)正确；不在同一平面内的两条直线平行或异面或相交，故(4)错误． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 知识点3　空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 1．空间中直线与平面的位置关系 (1)直线l上的所有点都在平面α内，称为直线l在平面α内(或平面α过直线l)，记作l⊂α． (2)直线m与平面α有且只有一个公共点，称为直线m与平面α相交，记作m∩α＝B． (3)直线l与平面α满足l∩α＝∅时，称为直线l与平面α平行，记作l∥α． 2．空间中平面与平面的位置关系 (1)平面α与平面β有公共点，称为平面α与平面β相交，记作α∩β≠∅． (2)如果α与β是空间中的两个平面，当α∩β＝∅时，称平面α与平面β平行，记作α∥β． 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α． (　　) (2)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行． (　　) (3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点． (　　) [提示]　由直观想象(1)有l∩α≠∅的情况，不正确；(2)中有另一条在这个平面内的情况，不正确；(3)正确． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 知识点4　直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义 一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中点A称为垂足． 2．点到平面的距离 由长方体可以看出，给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影)，线段AB为平面