（讲义）第11章 11.1 11.1.1 空间几何体与斜二测画法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

11.1　空间几何体 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 1．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点) 2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点) 1．通过学习斜二测画法的步骤，培养直观想象的核心素养． 2．借助斜二测画法，画出直观图，培养数学抽象的核心素养． 美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系． 思考：在画板上画实物图时，其中的直角在图中一定画成直角吗？ 知识点1　空间几何体 如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体． 1．我们以前接触过的几何体有哪些？ [提示]　正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等． 知识点2　直观图与斜二测画法 1．直观图 立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图．为了使直观图具有立体感，经常使用斜二测画法来作直观图． 2．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在平面图形上取互相x轴和y轴，作出与之对应的x′轴和y′轴，使得它们正方向的夹角为45°(或135°)． (2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x′轴平行(或重合)的线段，且长度不变． 平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y′轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半． (3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线． 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行． (　　) (2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴． (　　) (3)斜二测画法中，平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变． (　　) (4)斜二测坐标系取的角可能是135°． (　　) [提示]　斜二测画法中，平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确． [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 知识点3　立体图形及圆的直观图 1．用斜二测画法作立体图形直观图的步骤 (1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴)． (2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴． 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度不变．连接有关线段． (3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除)． 2．水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”画成椭圆． [拓展] 正等测画法 (1)正等测画法一般用于画圆柱、圆锥、圆台、球等． (2)正等测画法的规则如下： ①在已知图形中取相互垂直的轴Ox，Oy，画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝120°(或60°)，它们确定的平面表示水平面． ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中，分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． ③平行于x轴或y轴的线段，在直观图中长度都不变． 3．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为(　　) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm D．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm C　[由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图的画法，知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm．] 类型1　水平放置的平面图形的直观图 【例1】　按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图． [解]　(1)在图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H． (2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°． (3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD． (4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便