（讲义）第10章 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

类型1　复数的概念 正确确定复数的实部、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义． 【例1】　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时， (1)z∈R；(2)z为虚数． [思路探究]　根据复数的分类列不等式组求解． [解]　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 所以 由②得x＝4，经验证满足①③式． 所以当x＝4时，z∈R． (2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0， 所以 由①得x>或x<． 由②得x≠4， 由③得x>3． 所以当x>且x≠4时，z为虚数． 类型2　复数的四则运算 复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·为实数． 【例2】　(1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝(　　) A．－2　　　B．－2i　　　C．2　　　D．2i (2)(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝ ． [思路探究]　(1)先求出及，结合复数运算法则求解． (2)利用整体代换思想化简求值． (1)C　(2)2　[(1)因为z＝1＋i，所以＝1－i，＝＝＝1－i，所以＋i·＝1－i＋i(1－i)＝2．故选C． (2)法一：设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x＋y＝x＋y＝4． 因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝x＋y＋x＋y＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝()2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝＝＝＝2． 法二：设z1＝a＋bi(a，b∈R)， 则z2＝－a＋(1－b)i， 则 即 所以|z1－z2|2＝(2a－)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z1－z2|＝2． 法三：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(，1)，求|a－b|．因为(a＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝2，即|z1－z2|＝2．] 类型3　复数的几何意义 【例3】　(1)在复平面内，复数对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)在复平面内，复数对应的点的坐标为(　　) A．(0，－1) B．(0,1) C． D． [思路探究]　先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标． (1)B　(2)A　[(1)复数＝＝＝－＋i． 所以复数对应点的坐标是． 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限．故选B． (2)因为＝＝＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A．] 类型4　函数与方程思想 一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的方程(组)，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法． 【例4】　已知f(z)＝|1＋z|－，且f(－z)＝10＋3i，求复数z． [思路探究]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由复数相等列方程组求解即可． [解]　因为f(z)＝|1＋z|－， 所以f(－z)＝|1－z|＋． 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi． 由f(－z)＝10＋3i，得|1－(a＋bi)|＋a－bi＝10＋3i，所以 解方程组得 所以复数z＝5－3i． 学科网（北京）股份有限公司 $$