（讲义）第9章 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

类型1　利用正弦、余弦定理解三角形 利用正弦、余弦定理解三角形的一般方法如下： (1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b． (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a，b，c可应用余弦定理求A，B，C． 【例1】　如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BD＝，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2． (1)求AD的长； (2)求△CBD的面积． [思路探究]　(1)由面积公式求出sin∠ABD，进而得cos∠ABD的值，利用余弦定理可解； (2)由AB⊥BC可以求出sin∠CBD的大小，再由二倍角公式求出sin∠BCD，可判断△CBD为等腰三角形，利用正弦定理求出CD的大小，最后利用面积公式求解． [解]　(1)由S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝， 又∠ABD∈，所以cos∠ABD＝． 在△ABD中，由余弦定理知，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD， 可得AD2＝5，所以AD＝． (2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝， 所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝． 又∠BCD＝2∠ABD， 所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD， 所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD． 在△CBD中，由正弦定理知，＝， 得CD＝＝＝， 所以S△CBD＝×××＝． 类型2　利用正弦、余弦定理判断三角形形状 判断三角形的形状，一般有以下两种方法：(1)将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；(2)将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解． 【例2】　在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状． [解]　因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， 所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)] ＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， 所以2b2sin Acos B＝2a2cos Asin B， 即a2cos Asin B＝b2sin Acos B． 法一：由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， 所以sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sin Asin B≠0，所以sin Acos A＝sin Bcos B， 所以sin 2A＝sin 2B． 在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π， 所以2A＝2B或2A＝π－2B， 所以A＝B或A＋B＝． 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理，得 a2b×＝b2a×， 所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， 所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0． 即a＝b或a2＋b2＝c2． 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 类型3　正弦、余弦定理在实际问题中的应用 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求． 【例3】　如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45°方向，相距12海里的B处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值． [思路探究]　假设经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，作出示意图，把实际数据转化到三角形中，利用正、余弦定理求解． [解]　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x海里，BC＝10x海里，∠ABC＝120°．根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°， 解得x＝2． 故AC＝28海里，BC＝20海里． 根据正弦定理得＝， 解得sin α＝＝． 故红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$