（讲义）第9章 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

9.2　正弦定理与余弦定理的应用 9.3　数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 1．了解实际问题中所涉及的名词和一些术语，能将实际问题转化为解三角形问题．(难点) 2．能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(重点) 1．通过应用正、余弦定理求距离、高度、角度问题，培养直观想象、数学运算素养． 2．借助将实际问题转化为解三角形问题，培养数学建模素养． 在实地测量工作中，经常遇到一些不便于直接测量的情形．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP点O在柱楼底部.在地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝50米. 思考：你能给出一种计算博物馆正门柱楼顶部点P离地面的高度即OP的长的计算方法吗？ 知识点1　实际测量中的有关名词、术语 名称 定义 图示 基线 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线 铅垂平面 与地面垂直的平面 坡角 坡面与水平面的夹角 α为坡角 坡比 坡面的垂直高度与水平宽度之比 坡比：i＝ 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角 1．(多选题)甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有　(　　) A．d1>d2　　　　　　　 B．d1<d2 C．d1<20 m D．d2<20 m BC　[如图，设旗杆高为h，则d1＝，d2＝． 因为tan 50°>tan 40°，所以d1<d2． 又因为tan 50°>tan 45°＝1，所以d1<20 m．] 2．甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 ． a，　[甲楼的高为atan 60°＝a， 乙楼的高为a－atan 30°＝a－a＝a．] 知识点2　方位角与方向角 (1)方位角 从指北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)． 方位角的取值范围：0°～360°． (2)方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°． 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边． (　　) (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得． (　　) (3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°． (　　) (4)如图所示，该角可以说成北偏东110°． (　　) [提示]　(1)×．因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边． (2)×．两个不可到达的点之间的距离我们可以借助余弦定理求得． (3)×．若P在Q的北偏东44°，则Q在P的南偏西44°． (4)×．题图中所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为110°． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 4．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间的距离为(　　) A．a km　　　　　　　 B．a km C．a km D．2a km A　[在△ABC中，AC＝BC＝a km，∠ACB＝90°，所以AB＝a km．] 类型1　测量距离问题 角度1　两点不相通的距离 【例1】　如图，A，B两点之间隔着一座小山，现要测量A，B两点间的距离，选择在同一水平面上且均能直线到达的C点，经测量AC＝50 m，BC＝40 m，B在C北偏东45°方向上，A在C西偏北15°方向上，求AB的长． [解]　依题意知∠ACB＝120°，AC＝50 m，BC＝40 m，应用余弦定理得 AB＝ ＝ ＝10． 故AB的长为10 m． 角度2　两点间可视但有一点不可到达 【例2】　如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在点A的同侧，且点B不可到达，要测出AB的距离，其方法为在点A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB． 若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为 ． 20 m　[∠ABC＝180°－75°－45°＝60°， 所以由正弦定理得，＝． 所以AB＝＝＝20(m)． 即A，B两点间的距离为20 m．] 角度3　两点都不可到达 【例3】　要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠B