（讲义）第9章 9.1 9.1.1 正弦定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

9.1　正弦定理与余弦定理 9.1.1　正弦定理 1．掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点) 2．理解正弦定理及其变形的结构形式，并能用正弦定理解决三角形度量和边角转化问题，会判断三角形的形状．(难点) 3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易错点) 1．通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养． 2．借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养． 古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据．当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD． 思考：你知道古埃及人是如何利用这些数据计算的吗？ 知识点1　三角形的面积公式 (1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A． (3)S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)． 1．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝120°，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于(　　) A．6　　　B．6　　　C．12　　　D．12 B　[由题意得，△ABC的面积S＝bcsin A＝×3×8sin 120°＝×3×8×＝6，故选B．] 知识点2　正弦定理 [拓展]　 1．正弦定理的常用变形式 在△ABC中，若内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，其外接圆半径为R．则 (1)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A； (2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (3)＝＝＝＝2R； (4)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(可以实现边到角的转化) (5)sin A＝，sin B＝，sin C＝．(可以实现角到边的转化) 2．三角形中边角的不等关系 (1)若A＞B＞C，可得a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C； (2)若sin A＞sin B＞sin C，可得a＞b＞c，则A＞B＞C． 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理只适用于锐角三角形． (　　) (2)正弦定理不适用于钝角三角形． (　　) (3)在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值． (　　) (4)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c． (　　) [提示]　正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故(3)正确；由比例性质和正弦定理可推知(4)正确． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 知识点3　解三角形 (1)一般地，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素． (2)已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形． 利用正弦定理解三角形需要哪些条件？ [提示]　需要两角和一边或两边和其中一边的对角． 3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于(　　) A．5 B．10 C． D．5 B　[由正弦定理得，b＝＝＝10．] 知识点4　对三角形解的个数的判断 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明： (1)代数角度 由正弦定理得sin B＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解； ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解； ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2． (2)几何角度 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①　　　　　② ①a＝bsin A； ②a≥b 一解 bsin_A<a<b 两解 a<bsin A 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 4．在△ABC中，若A＝30°，a＝2，b＝2，则此三角形解的个数为(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．不能确定 C　[b·sin A＝2×＝，因为<2<2， 即b·sin A<a<b，所以有两个三角形．故选C．] 类型1　利用正弦定理解三角形 【例1】　(1)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形． (2)在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形． [解]　(1)法一：因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°．