（讲义）第9章 9.1 9.1.2 余弦定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册(人教B版)

9.1.2　余弦定理 1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法． 2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(重点) 3．能应用余弦定理判断三角形形状．(重点) 4．能利用正弦定理、余弦定理解决解三角形的有关问题．(难点) 1．借助余弦定理的推导，提升逻辑推理的素养． 2．通过余弦定理的应用的学习，培养数学运算的素养． 如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度．工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B，C的距离，其中AB＝ km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC＝150°． 思考：根据上述条件你能求出山脚BC的长度吗？ 知识点1　余弦定理 (1)文字语言 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍． (2)符号语言 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解． (　　) (2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形． (　　) (3)利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题． (　　) (4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例． (　　) [提示]　(1)×．由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理求解，也可以用余弦定理求解． (2)√．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形． (3)√．结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确． (4)√．余弦定理可以看作勾股定理的推广． [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 知识点2　余弦定理的推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝． [拓展] 判定三角形形状时经常用到下列结论 (1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0°<A<90°；反之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2．例如：在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，可得角A的范围是． (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2． (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°；反之，若90°<A<180°，则a2>b2＋c2． 2．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为(　　) A． B．－ C． D．－ A　[根据正弦定理，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)， 则cos C＝＝．] 3．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝ ．　 120°　[因为a2＝b2＋bc＋c2， 所以b2＋c2－a2＝－bc， 所以cos A＝＝＝－， 又因为0°＜A＜180°，所以A＝120°．] 类型1　已知两边及一角解三角形 【例1】　(1)(教材P9例1改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝ ． (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，b＝2，C＝15°，求A，B和c． (1)　[由三角形内角和定理可知 cos C＝－cos(A＋B)＝－，又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝．] (2)[解]　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即c2＝4＋8－2×2×2×cos 15°＝12－8×cos 15°． 因为cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝， 所以c2＝8－2＝(－)2， 所以c＝－或c＝－(舍去)． 因为cos A＝＝，且0°<A<180°， 所以A＝30°，B＝180°－(A＋C)＝135°． 所以A＝30°，B＝135°，c＝－． 已知两边及一角解三角形的方法 (1)当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一解． (2)当已知两边及其一边的对角时，可用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，也可用正弦定理求解，但都要注意解的情况的讨论．利用余弦定理求解相对简便． 1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c． [解]　5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0． 所以x1＝，x2＝－2(舍去)． 所以cos C＝． 根据余弦定