(课件)单元素养检测卷(十) 概 率-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

单元素养检测卷(十) [时间：120分钟　满分：150分] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为(　　) A．0.32 B．0.45 C．0.67 D．0.77 22 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3，则(　　) A．P1＝P2<P3 B．P1<P2<P3 C．P1<P2＝P3 D．P3＝P2<P1 22 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 3．如果事件A，B互斥，那么(　　) 22 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是(　　) A．掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8．某公交线路某区间内共设置四个站点(如图)，分别记为A0，A1，A2，A3，现有甲、乙两人同时从A0站点上车，且他们中的每个人在站点Ai(i＝1，2，3)下车是等可能的，则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为(　　) 22 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是(　 　) A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球” 22 AB 【解析】 “至少有一个黑球”中包含“都是黑球”，A符合题意． “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B符合题意． “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不符合题意. “至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不符合题意． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10．某社区开展“防疫知识竞赛”，甲、乙两人获得一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为(　 ) A．p(1－q)＋q(1－p)＋pq B．p＋q C．pq D．1－(1－p)(1－q) 22 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是(　 　) 22 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 12．随机投掷一枚质地均匀的骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件A＝“第一次的点数为奇数”，事件B＝“第二次的点数为奇数”，事件C＝“两次点数之和为奇数”，则(　 　) A．P(A)＝P(B)＝P(C) B．A∩B与C互斥 C．A与C相互独立 D．P(ABC)＝P(A)P(B)P(C) 22 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数依次记为m，n， 则“m＞2n”的概率是____． 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜 色，则任意相邻两个矩形颜色不同的概率是____． 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大．假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为P1＝0.9；同时，有n个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是0.5.现在李某单独研究项目M，且这n个人组成的团队也同时研究项目M，且这n个人研究项目M的结果相互独立．设这n个人组成的团队解决项目M的概率为P2，若P2≥P1，则n的最小值是______． 22 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A＝“两个点数之和为8”，事件B＝“两个点数之和是3的倍数”，事件C＝“两个点数均为偶数”． (1)写出该试验的样本空间Ω，并求事件A发生的概率． (2)求事件B发生的概率． (3)事件A与事件C至少有一个发生的概率． 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18．(本小题满分12分)将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次，记下骰子朝上的点数．若用x表示第一次抛掷出现的点数，用y表示第二次抛掷出现的点数，用(x，y)表示这个试验的一个样本点． (1)记A＝“两次点数之和大于9”，B＝“至少出现一次点数为3”，求事件A，B的概率． (2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：若xy为偶数，则甲胜；否则，乙获胜．这种游戏规则公平吗？请说明理由． 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20．(本小题满分12分)某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如表所示． (1)用比例分配的分层随机抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率． (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用比例分配的分层随机抽样   22 学历 年龄 35岁以下 35～50岁 50岁以上 本科 80 30 20 研究生 x 20 y 的方法抽取N个人，其中35岁以下的有48人，50岁以上的有10人，再从这N个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为 ，求x，y的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21．(本小题满分12分)有一天，小明去公园玩，被公园门口的一种游戏所吸引，其游戏规则是：如图，这是一个转盘，被均分为16份，游戏者先免费转一下，转盘停止后，找到指针所指的数记为x，然后从这一格的下一格开始计数，顺时针数x个格子停止，按照停止的格子上的提示得到或付出相应的钱数．请从数学的角度来分析该游戏是否公平． 解：假设指针所指的数为3，则按规则可得到3元 (顺时针数3个格，最后停在12的位置上)，同理， 指针所指的数为5，7，11，13，15中的一个时， 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22．(本小题满分12分)为防止突发事件发生，某种品牌的电梯有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下表： 预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大． 预防措施 甲 乙 丙 丁 P 0.9 0.8 0.7 0.6 费用/万元 90 60 30 10 解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元，由表可知，采用甲措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9. 方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元．由表可知，联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率为1－(1－0.9)× (1－0.7)＝0.97. 联合甲、丁或乙、丙或乙、丁或丙、丁两种预防措施，此突发事件不发生的概率均小于0.97， 所以联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概 率为0.97. 方案3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施， 此时突发事件不发生的概率为1－(1－0.8)×(1－0.7)×(1－0.6)＝0.976. 综上所述，由三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使突发事件不发生的概率最大． 感谢聆听，再见！ A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件 C．与一定不互斥 D．与一定互斥 4．在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A∪发生的概率为(　　) A． B． C． D． 【解析】 掷一个骰子的试验，基本事件总数n＝6，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A∪包含的基本事件：出现2点，4点，5点，6点，共有4个，所以一次试验中，事件A∪发生的概率为P＝＝. 【解析】 对于A，C，D，甲胜、乙胜的概率都是，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数之和等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平． 6．某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则m＋n＝(　　) A． B． C． D． 【解析】 因为至少通过一个社团考核的概率为，则三个社团都 没有通过的概率为，依题意， 得 即 解得m＋n＝. 7．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为(　　) A． B． C． D． 【解析】 由题意，另3位棋手分别记为丙、丁、戊，则这5位棋手的分组情况有(甲乙丙，丁戊)，(甲乙丁，丙戊)，(甲乙戊，丙丁)，(甲丙丁，乙戊)，(甲丙戊，乙丁)，(甲丁戊，乙丙)，(乙丙丁，甲戊)，(乙丙戊，甲丁)，(乙丁戊，甲丙)，(丙丁戊，甲乙)，共10种，其中甲和乙不在同一个小组的情况分别为(甲丙丁，乙戊)，(甲丙戊，乙丁)，(甲丁戊，乙丙)，(乙丙丁，甲戊)，(乙丙戊，甲丁)，(乙丁戊，甲丙)，共有6种，所以甲和乙不在同一个小组的概率P＝＝. A． B． C． D． 【解析】 设事件A表示“甲、乙两人不在同一站点下车”，因为每个人在站点Ai(i＝1，2，3)下车是等可能的，所以均为，所以甲、乙两人同在A1站下车的概率为×＝；甲、乙两人同在A2站下车的概率为×＝；甲、乙两人同在A3站下车的概率为×＝，所以甲、乙两人在同一站点下车的概率P()＝＋＋＝，所以P(A)＝1－＝. 【解析】 记事件A＝“甲获得一等奖”，事件B＝“乙获得一等奖”，则P(A)＝p，P(B)＝q，且A，B相互独立．从正面考虑，甲、乙两人中至少有一人获得一等奖为A＋B＋AB，为三个互斥事件的并事件，所以P(A＋B＋AB)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝p(1－q)＋q(1－p)＋pq，故A正确；从反面考虑，事件“甲、乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事件是“甲、乙两人都没获得一等奖”，即事件 ，易得P( )＝(1－p)(1－q)，所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率为1－P( )＝1－(1－p)·(1－q)，故D正确． A．甲同学仅随机选一个选项，能得5分的概率是 B．乙同学仅随机选两个选项，能得10分的概率是 C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是 D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是 【解析】 甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，，，，随机事件“能得5分”中有基本事件，，故“能得5分”的概率为，故A正确；乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为，，，，，， 随机事件“能得10分”中有基本事件，故“能得10分”的概率为，故B正确； 丙同学随机选择选项(丙至少选择一项)， 由A，B中的分析可知共有基本事件15个，分别为： 选择一项：，，，； 选择两项：，，，，，； 选择三项或全选：，，，，，随机事件“能得分”中有基本事件，，，故“能得分”的概率为＝，故C正确； 丁同学随机至少选择两个选项，由C的分析可知，共有基本事件11个， 随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故D错． 【解析】 由题意得P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝×＋×＝，所以P(A)＝P(B)＝P(C)，故A正确； A∩B为两次点数之和为偶数，与两次点数之和为奇数不可能同时发生，则A∩B与C互斥，故B正确； P(AC)＝×＝P(A)P(C)，则A与C相互独立，故C正确； 事件A，B，C不可能同时发生，则P(ABC)＝0，故D错误． 【解析】 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数依次记为m，n，则共有6×6＝36(种)结果，满足“m＞2n”的有(3，1)，(4，1)， (5，1)，(6，1)，(5，2)，(6，2)，共6种，则“m＞2n” 的概率P＝＝. 【解析】 由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2. 样本点有111，112，121，211，221，212，122，222，共8种，其中任意相邻两个矩形颜色不同的结果有121，212，共2种，故所求概率 P＝＝. 15．在某次考试中，第22题和23题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为，则其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率为______；甲、乙两名学生都选做第22 题的概率为______． 【解析】 设事件A表示“甲选做第22题”，事件B表示“乙选做第22题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB∪ ”，且事件A，B相互独立． 因为P(AB∪ )＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝，所以甲、乙两名学生选做同一道题的概率为. 因为P(A)P(B)＝×＝，所以甲、乙两名学生都选做第22题的概率为. 【解析】 这n个人组成的团队不能解决项目M的概率 为＝，则P2＝1－.由1－≥0.9， 得≤.又n∈N*，解得n≥4. 解：(1)该试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，n(Ω)＝36. 其中“两个点数之和为8”的有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5种，故P(A)＝. (2)由(1)得“两个点数之和是3的倍数”的有(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，共12种，故P(B)＝＝. (3)由(1)得“两个点数均为偶数”的有(2，2)，(2，4)，(2，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)，共9种，“两个点数之和为8”的有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5种，重复的有(2，6)，(4，4)，(6，2)，共3种，故事件A与事件C至少有一个发生的情况有9＋5－3＝11(种)，故概率为. 解：(1)依题意，先后抛掷两次一枚质地均匀的正方体骰子，共有36 个样本点， 其中事件A＝{(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，即 事件A包含6个样本点， 所以事件A的概率为P(A)＝＝. 又由事件B＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)， (3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)}， 即事件B中包含11个样本点，所以事件B的概率为P(B)＝. (2)设事件C＝“xy为偶数”，事件D＝{(x，y)|x∈{1，3，5}， y∈{2，4，6}}，事件E＝{(x，y)|x∈{2，4，6}， y∈{1，2，3，4，5，6}}，可得P(D)＝，P(E)＝， 因为事件D与事件E互斥，且C＝D∪E， 所以P(C)＝P(D)＋P(E)＝＋＝＝. 因此甲获胜的概率为，乙获胜的概率为1－＝， 所以>，故这种游戏规则不公平． 19．(本小题满分12分)某社区为丰富居民业余生活，举办了关于端午节文化习俗的知识竞赛，比赛共分为两轮．在第一轮比赛中，每位选手均需参加两关比赛，若其在两关比赛中均达标，则进入第二轮比赛．已知在第一轮比赛中，选手A，B第一关达标的概率分别是，；第二关达标的概率分别是，.A，B在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响． (1)分别求出A，B进入第二轮比赛的概率． (2)若A，B两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率． 解：(1)设事件A1＝“A在第一轮第一关比赛中达标”，事件A2＝“A在第一轮第二关比赛中达标”，事件B1＝“B在第一轮第一关比赛中达标”，事件B2＝“B在第一轮第二关比赛中达标”，则A进入第二轮比赛的概率P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，B进入第二轮比赛的概率P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝×＝. (2)由(1)可知A没有进入第二轮比赛的概率为1－P(A1A2)＝1－＝，B没有进入第二轮比赛的概率为1－P(B1B2)＝1－＝， 则A，B两人都没有进入第二轮比赛的概率为×＝. 故A，B两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率P＝1－＝. 解：(1)用比例分配的分层随机抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，则＝，解得m＝3，所以抽取的学历为研究生的人数为5－3＝2. 抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3. 从中任取2人的所有的样本点共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3). 其中至少有1人的学历为研究生的样本点有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2). 所以从中任取2人，至少有1人的学历为研究生的概率为. (2)由题意，得＝，解得N＝78. 所以35～50岁年龄段中被抽取的人数为78－48－10＝20，所以＝＝，解得x＝40，y＝5.即x，y的值分别为40，5. 同样可得3元．但指针所指的数为除3，5，7，11，13，15之外的数时，都要罚3元．例如，若指针所指的数为10，按规则从这一格的下一格开始数，顺时针数10个位置到位置16，则要罚3元．由题意得，所有可能的情况有16种，得到钱的情况有6种，付出钱的情况有10种． 设得到钱的概率为P1，付出钱的概率为P2，则 P1＝＝，P2＝＝. 因为P1<P2，所以该游戏对玩家不公平，因此这种游戏还是不玩为好． $$